Ensino Médio ⇒ Questão das lâmpadas - Probabilidade Tópico resolvido

[gerlanmatfis]

Um lote contém 60 lâmpadas sendo 50 boas e 10 defeituosas. 5 lâmpadas são escolhidas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de :
a) todas serem boas;
b) todas serem defeituosas
c) 2 boas e 3 defeituosas
d) pelo menos uma ser defeituosa

[Cardoso1979]

Observe

Solução

Primeiro modo ( forma direta e mais prático ):

a) Primeira escolha : 50/60 = 5/6. Segunda escolha : 49/59. Terceira escolha : 48/58 = 24/29. Quarta escolha : 47/57 e por fim, quinta escolha : 46/56 = 23/28. Portanto, a probabilidade de todas serem boas é :

[tex3]P_{B} = \frac{5}{6}.\frac{49}{59}.\frac{24}{29}.\frac{47}{57}.\frac{23}{28}[/tex3]

[tex3]P_{B}=5.\frac{7}{59}.\frac{1}{29}.\frac{47}{57}.23 = \frac{37835}{97527}= 0,3879[/tex3]

Portanto, a probabilidade de todas serem boas é: P [tex3]_{B}[/tex3] = 0, 3879 ou P [tex3]_{B}[/tex3] = 38,79%.


b) Primeira escolha: 10/60 = 1/6 . Segunda escolha : 9/59 . Terceira escolha : 8/58 . Quarta escolha : 7/57 . Quinta escolha : 6/56, temos então;

[tex3]P_{D}=\frac{1}{6}.\frac{9}{59}.\frac{8}{58}.\frac{7}{57}.\frac{6}{56}[/tex3]

[tex3]P_{D}= \frac{9}{59.58.57}= \frac{9}{195054}= 0,000046[/tex3]

Portanto, a probabilidade de todas serem defeituosas é: 0,000046 ou 0,0046%.

c) Para que ocorra duas boas e três defeituosas, temos as seguintes possibilidades:

BBDDD
BDBDD
BDDBD
BDDDB
DBDDB
DDBDB
DDDBB
DDBBD
DBBDD
DBDBD

Portanto, como temos dez possibilidades, em cada uma delas, a probabilidade desse evento ocorrer será:

[tex3]P = \frac{50}{60}.\frac{49}{59}.\frac{10}{58}.\frac{9}{57}.\frac{8}{56} = \frac{5}{6}.\frac{7}{59}.\frac{5}{29}.\frac{9}{57}[/tex3]

[tex3]P = \frac{1575}{585162}=0,00269[/tex3]

Como temos dez possibilidades, fica;

P = 0,00269 x 10 = 0, 0269

Logo;

P = 0,0269 ou P = 2,69%.


d) Basta, procedermos da seguinte maneira:

P = 100% - 38,79% = 61,21%

Ou

P = 1 - 0,3879 = 0,6121.



Segundo modo ( Usando combinação ):

Solução

a) Cálculo do número de maneiras de escolher cinco lâmpadas entre sessenta:

[tex3]n(U)=\begin{pmatrix}
60 \\
5 \\
\end{pmatrix}= \frac{60!}{5!.55!}= 4.59.58.57.7= 5461512 [/tex3]

n( U ) = 5461512 maneiras.

Seja A o evento "de todas serem boas".

Cálculo do número de maneiras de escolher cinco lâmpadas boas entre cinquenta.

[tex3]n(A)=\begin{pmatrix}
50 \\
5 \\
\end{pmatrix}= \frac{50!}{5!.45!}=10.49.2.47.46[/tex3]

n( A ) = 2118760 maneiras.

Logo, a probabilidade desse evento é:

[tex3]P(A)=\frac{n(A)}{n(U)}=\frac{2118760:56}{5461512:56}= \frac{37835}{97527}=0,3879[/tex3]


b) Seja B o evento "todas serem defeituosas".

Cálculo do número de maneiras de escolher cinco lâmpadas defeituosas entre dez.

[tex3]n( B )=\begin{pmatrix}
10 \\
5 \\
\end{pmatrix}=\frac{10!}{5!.5!}=\frac{10.9.8.7.6.5!}{5.4.3.2.1.5!}=3.2.7.6=252[/tex3]

n( B ) = 252 maneiras

Logo, a probabilidade desse evento é :

[tex3]P(B) = \frac{n(B)}{n(U)}= \frac{252:84}{5461512:84}=\frac{3}{65018}=0,000046[/tex3]

d) O evento C "pelo menos uma ser defeituosa" significa que ou uma lâmpada ou duas lâmpadas ou três lâmpadas ou quatro lâmpadas ou cinco lâmpadas devem estar com defeitos. Esse evento C é o complementar [tex3]\overline{A}[/tex3] do evento A.

Como [tex3]A\cap \overline{A}=\emptyset [/tex3] e [tex3]A\cup \overline{A} = U[/tex3], temos;

n( A ) + n( [tex3]\overline{A}[/tex3]) = n( U )

Como n( U ) ≠ 0 :

[tex3]\frac{n(A)}{n(U)}+\frac{n(\overline{A})}{n(U)}=\frac{n(U)}{n(U)}[/tex3]

P( A ) + P([tex3]\overline{A}[/tex3]) = 1

[tex3]\frac{37835}{97527}+P(\overline{A})=1[/tex3]

Portanto, a probabilidade desse evento é:

[tex3]P(\overline{A})=1-\frac{37835}{97527}=\frac{97527-37835}{97527}=\frac{59692}{97527}= 0,6121[/tex3]

Ou você poderia proceder assim:

[tex3]P(C)=1-\frac{C_{50,5}}{C_{60,5}}[/tex3]

[tex3]P(C)=1-\frac{\frac{50!}{5!.45!}}{\frac{60!}{5!.55!}}[/tex3]

[tex3]P(C)=1-\frac{50!}{45!}.\frac{55!}{60!}\therefore [/tex3]

[tex3]P(C)=\frac{195054-75670}{195054}=
\frac{119384}{195054} = \frac{59692}{97527}[/tex3]

Logo;

P( C ) = 0,6121 ou 61,21%.


Bons estudos!