Pré-Vestibular ⇒ (UERJ - 2001) Função Modular

[Natan]

O volume de água em um tanque varia com o tempo de acordo com a seguinte equação:

• [tex3]V=10-|4-2t|-|2t-6|,\text{ } t \in \mathbb{R}_{+}[/tex3]

Nela, [tex3]V[/tex3] é o volume médio em [tex3]\text{m}^{3}[/tex3] após [tex3]t[/tex3] horas, contadas a partir de [tex3]8\text{h}[/tex3] de uma manhâ.
Determine os horários inicial e final dessa manhã em que o volume permanece constante.

[fabit]

É de [tex3]10\text{h}[/tex3] às [tex3]11\text{h}.[/tex3]

O gráfico fica um trio de segmentos de reta no plano [tex3]t\times V[/tex3] [tex3](x=t;y=V).[/tex3] O primeiro segmento de reta une a origem ao ponto [tex3](2,8),[/tex3] o segundo une [tex3](2,8)[/tex3] a [tex3](3,8)[/tex3] e o terceiro une [tex3](3,8)[/tex3] a [tex3](5,0),[/tex3] formando um trapézio isósceles no qual o segmento que vai de [tex3](2,8)[/tex3] a [tex3](3,8),[/tex3] que é a base menor do trapézio, é justamente o pedaço do gráfico para o qual o volume é constante. Como [tex3]t[/tex3] vai de [tex3]2[/tex3] a [tex3]3[/tex3] nesse trecho, sabendo que [tex3]t=0[/tex3] representa [tex3]8\text{h},[/tex3] basta somar [tex3]8[/tex3] aos extremos do intervalo:

• [tex3]8+2=10[/tex3] e [tex3]8+3=11.[/tex3]

[Natan]

Ficou difícil de entender só com a explicação, será que dá pra explicar de novo usando um gráfico?

[fabit]

Gráfico eu não sei fazer aqui no fórum. Você pode pegar as coordenadas que falei e montá-lo pessoalmente.

As expressões dentro dos módulos, [tex3]4-2t[/tex3] e [tex3]2t-6,[/tex3] possuem as raízes respectivas [tex3]2[/tex3] e [tex3]3.[/tex3]

À esquerda do [tex3]2,[/tex3] [tex3]|4-2t|=4-2t[/tex3] e [tex3]|2t-6|=6-2t.[/tex3]

Entre [tex3]2[/tex3] e [tex3]3,[/tex3] [tex3]|4-2t|=2t-4[/tex3] e [tex3]|2t-6|=6-2t.[/tex3]

À direita do [tex3]3,[/tex3] [tex3]|4-2t|=2t-4[/tex3] e [tex3]|2t-6|=2t-6[/tex3].

Portanto [tex3]V=\{{4t,\text{ } t<2}\\{8,\text{ } 2\leq t<3}\\{20-4t,\text{ } t \geq3}[/tex3]

O trecho em que [tex3]V=8[/tex3] é entre [tex3]2[/tex3] e [tex3]3,[/tex3] conforme concluímos antes.