IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 2004) Geometria Plana: Triângulos Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Dado um triângulo retângulo, seja [tex3]P[/tex3] o ponto do plano do triângulo eqüidistante dos vértices. As distâncias de [tex3]P[/tex3] aos catetos do triângulo são [tex3]k[/tex3] e [tex3]\ell .[/tex3] O raio do círculo circunscrito ao triângulo é dado por:

a) [tex3]\frac{k+\ell}{4}.[/tex3]
b) [tex3]2k+\ell.[/tex3]
c) [tex3]\frac{\sqrt{k^2+\ell^2}}{4}.[/tex3]
d) [tex3]\frac{\sqrt{k^2+\ell^2}}{2}.[/tex3]
e) [tex3]\sqrt{k^2+\ell^2}.[/tex3]

Resposta:

---

d

[fabit]

Ponto [tex3]P[/tex3] equidistante dos [tex3]3[/tex3] vértices [tex3]=[/tex3] circuncentro, que por sua vez fica, no caso de triângulos retângulos, sempre no ponto médio da hipontenusa.

As distâncias baixadas de [tex3]P[/tex3] a cada cateto são paralelas ao outro cateto e medem metade do mesmo. Logo os catetos têm comprimentos [tex3]2k[/tex3] e [tex3]2\ell.[/tex3]

Assim a hipotenusa, que é diâmetro do círculo circunscrito, mede [tex3]\sqrt{(2k)^2+(2\ell)^2}=\sqrt{4k^2+4\ell^2}=2\sqrt{k^2+\ell^2} .[/tex3] O raio será metade disso: [tex3]\sqrt{k^2+\ell^2}[/tex3]

Letra (e).