Ensino Médio ⇒ Geometria de posição (paralelismo) Tópico resolvido

[Duvidoso]

Dada uma circunferência de diametro (AB) , levanta-se por A um segmento (AD) perpendicular ao plano da circunferência e une-se D a um ponto C qualquer da circunferência, C distinto de B.

Sabendo que (AB)=(AD)=8 e que C é o ponto médio do arco AB , determine a medida do ângulo CDB:

a)90

b)75

c)60

d)45

e)30

[joaopcarvMOD]

Temos aqui um esboço do caso feito no Illustrator [tex3]\rightarrow [/tex3]

joao.jpeg (9.28 KiB) Exibido 2379 vezes

Veja que o segmento [tex3]\mathsf{\overline{AD} \ \perp \ \overline{AB}, \ \overline{AC}}[/tex3], ambos, assim como [tex3]\mathsf{\overline{BC}} [/tex3] contidos no plano da circunferência (ou seja, [tex3]\mathsf{\overline{AD}}[/tex3] é uma "normal" a esse plano).

Além disso, [tex3]\mathsf{\overline{AC} \ \perp \ \overline{BC}}[/tex3], já que trata-se de um ângulo inscrito que "enxerga" a meia-volta da circunferência (ou podemos dizer que é por causa da hipotenusa no diâmetro.)

Vamos inicialmente usar uns Pitágoras para relacionarmos esses lados...

[tex3]\mathsf{\overline{BD}^2 \ = \ \overline{AD}^2 \ + \ \overline{AB}^2 \ (I)}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\overline{CD}^2 \ = \ \overline{AD}^2 \ + \ \overline{AC}^2 \ (II)}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\overline{AB}^2 \ = \ \overline{BC}^2 \ + \ \overline{AC}^2 \ (III)}[/tex3]

Só de fazermos escalonamento, temos que:

[tex3]\mathsf{\overline{BD}^2 \ = \ \cancelto{\overline{CD}^2 \ \cancel{- \overline{AC}^2}}{\overline{AD}^2} \ + \ \cancelto{\overline{BC}^2 \ \cancel{+ \ \overline{AC}^2}}{\overline{AB}^2}} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\mathsf{\overline{BD}^2 \ = \ \overline{BC}^2 \ + \ \overline{CD}^2 \ \rightarrow \ \triangle BCD}[/tex3] é retângulo em [tex3]\mathsf{C}[/tex3]!

Como o ponto [tex3]\mathsf{C}[/tex3] se encontra no meio do arco [tex3]\mathsf{\overset{\frown}{AB}}[/tex3], então os ângulos inscritos [tex3]\mathsf{\angle{BAC}}[/tex3] e [tex3]\mathsf{\angle{CBA}}[/tex3] são iguais e são [tex3]\mathsf{45^\circ.}[/tex3]

Isso implica que: [tex3]\mathsf{\overline{AC} \ = \ \overline{BC} \ = \ \cancelto{8 \ |u|}{\overline{AB}} \ \cdot \ sen(45^\circ) \ = \ 4 \ \cdot \ \sqrt{2} \
|u|}[/tex3]

Sabendo, por fim, que [tex3]\mathsf{\overline{AD} = \ \overline{AB} \ = \ 8 \ |u|}[/tex3], temos [tex3]\mathsf{\overline{BD} \ = \ 8 \ \cdot \ \sqrt{2} \ |u|}[/tex3]

Como queremos [tex3]\mathsf{\angle{BDC}}[/tex3], sabendo que [tex3]\mathsf{C}[/tex3] é retângulo neste plano:

[tex3]\mathsf{sen(\angle{BDC}) \ = \ \dfrac{\overline{BC}}{\overline{BD}} \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{sen(\angle{BDC}) \ = \ \dfrac{4 \ \cdot \ \sqrt{2} \ |u|}{8 \ \cdot \ \sqrt{2} \ |u|} \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{sen(\angle{BDC}) \ = \ \dfrac{1}{2} \ \rightarrow \boxed{\boxed{\mathsf{\angle{BDC \ = \ 30^\circ}}}} \ (0 \ < \ \angle{BDC} \ < \ 90^\circ)}[/tex3]