IME / ITA ⇒ (EEAR - 1986) Geometria Plana: Área de um Triângulo Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Se na figura abaixo temos um quadrado e um triângulo eqüilátero, a área do triângulo hachurado, em [tex3]\text{m}^2,[/tex3] é:
Considerar as medidas dos lados em [tex3]\text{m}.[/tex3]

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a) [tex3]3\sqrt{2}-1.[/tex3]
b) [tex3]3\sqrt{2}+1.[/tex3]
c) [tex3]2\sqrt{3}+1.[/tex3]
d) [tex3]2\sqrt{3}-1.[/tex3]

Resposta:

---

d

[fabit]

Esse é um problema famoso, bem manjado do pessoal IME/ITA.

Dá trabalho, mas não é tão difícil.

Primeiro, dou nome aos bois: o quadrado eu batizo de [tex3]ABCD[/tex3] [tex3](AB[/tex3] na base inferior com [tex3]B[/tex3] na direita) e o triângulo equilátero eu chamo de [tex3]BEF[/tex3] (com [tex3]BE[/tex3] no prolongamento de [tex3]AB).[/tex3] O segmento [tex3]DE[/tex3] corta [tex3]BC[/tex3] em [tex3]M[/tex3] (que é médio de [tex3]BC,[/tex3] isso você descobre por semelhança entre [tex3]ADE[/tex3] e [tex3]BME)[/tex3] e corta [tex3]BF[/tex3] em [tex3]N.[/tex3]

Procuramos a área de [tex3]BMN,[/tex3] a quem chamo doravante de [tex3]S.[/tex3]

Eu faço assim: [tex3]S=\frac{\overline{BM}\times\overline{BN}}{2}\sen{(M\hat{B}N)}[/tex3]

O chato é achar [tex3]\overline{BN},[/tex3] pois [tex3]\overline{BM}=\frac{2\sqrt{11}}{2}=\sqrt{11}[/tex3] e [tex3]M\hat{B}N=90^\circ-F\hat{B}E=90^\circ-60^\circ=30^\circ .[/tex3]

Então [tex3]S=\frac{\overline{BN}\times\sqrt{11}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\overline{BN}\sqrt{11}}{4}.[/tex3]

Para achar [tex3]BN[/tex3] (chama-lo-ei de [tex3]x[/tex3] de agora em diante), eu uso Lei dos Senos no triângulo [tex3]BEN.[/tex3] Chamando [tex3]\theta=B\hat{E}N=\arctan{\frac{\overline{BM}}{\overline{BE}}}=\arctan{\frac{1}{2}},[/tex3] observe que [tex3]E\hat{N}F=\theta+60^\circ[/tex3] e que [tex3]\sen{(E\hat{N}B)}=\sen{(E\hat{N}F)}[/tex3]

Assim, tal Lei dos Senos fica: [tex3]\frac{x}{\sen{(B\hat{E}N)}}=\frac{\overline{BE}}{\sen{(E\hat{N}B)}}\Rightarrow\frac{x}{\sen{\theta}}=\frac{2\sqrt{11}}{\sen{(E\hat{N}F)}}=\frac{2\sqrt{11}}{\sen{(E\hat{N}F)}}=\frac{2\sqrt{11}}{\sen{(\theta+60^\circ)}}[/tex3]

Por outro lado, [tex3]\tan{\theta}=\frac{1}{2}\Rightarrow(\sen{\theta}=\frac{1}{\sqrt{5}}\wedge\cos{\theta}=\frac{2}{\sqrt{5}}).[/tex3]

Então [tex3]x=\frac{2\sqrt{11}\times\sen{\theta}}{\sen{\theta}\cos{60^\circ}+\sen{60^\circ}\cos{\theta}}=\frac{2\sqrt{11}\times\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}\times\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{2}{\sqrt{5}}}[/tex3]

Multiplicando em cima e embaixo por [tex3]2\sqrt{5}[/tex3]: [tex3]x=\frac{4\sqrt{11}}{1+2\sqrt{3}}[/tex3]

Vou substituir em [tex3]S[/tex3] antes de racionalizar: [tex3]S=\frac{x\sqrt{11}}{4}\Rightarrow S=\frac{\frac{\cancel{4}\sqrt{11}}{1+2\sqrt{3}}\times\sqrt{11}}{\cancel{4}}=\frac{11}{2\sqrt{3}+1}=\frac{11}{2\sqrt{3}+1}\times\frac{2\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}-1}=\frac{\cancel{11}(2\sqrt{3}-1)}{\cancel{12-1}}=2\sqrt{3}-1[/tex3]

É isso aí!

[Karl Weierstrass]

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  AC55.png (7.17 KiB) Exibido 1905 vezes

[tex3]\triangle ADE \sim \triangle IBE:[/tex3]

• [tex3]\frac{\overline{AE}}{\overline{BE}}=\frac{\overline{DA}}{\overline{BI}}\Longrightarrow \overline{BI}=\sqrt{11}[/tex3]

Tracemos [tex3]FH,[/tex3] altura do triângulo eqüilátero [tex3]FBE.[/tex3]

[tex3]\triangle IBE \sim \triangle JHE:[/tex3]

• [tex3]\overline{JH}= \frac{\overline{BI}}{2}=\frac{\sqrt{11}}{2}[/tex3]

• [tex3]\overline{FH}=\frac{2\sqrt{11}\cdot \sqrt{3}}{2}=\sqrt{33}[/tex3].

• [tex3]\overline{FJ}=\overline{FH} -\overline{JH}=\frac{\sqrt{11}}{2}\cdot (2\sqrt{3}-1)[/tex3]

• [tex3]I\widehat{B}G=90^\circ -60^\circ=30^\circ[/tex3]

Mas [tex3]FH\parallel BC[/tex3] implica em [tex3]\triangle IBG \sim \triangle JFG.[/tex3] E como [tex3]\overline{BF}=2\sqrt{11},[/tex3] vem:

• [tex3]\frac{\overline{FG}}{\overline{BG}}=\frac{\overline{FJ}}{\overline{IB}}\Longrightarrow \overline{BG} =\frac{4\sqrt{11}(2\sqrt{3}-1)}{11}[/tex3]

Finalmente,

• [tex3][IBG]=\frac{1}{2}\cdot \overline{BI}\cdot\overline{BG}\cdot \sen I\widehat{B}G=2\sqrt{3}-1\text{ m}^2[/tex3]

[edu_landim]

Com base na figura proposta por Karl, segue uma nova sugestão.

[tex3]\large 1)[/tex3] De [tex3]\triangle DAE\,\sim\,\triangle IBE[/tex3] obtemos [tex3]BI\,=\,\sqrt{11} .[/tex3]


[tex3]\large 2)[/tex3] Traçe a altura de [tex3]\triangle BIG[/tex3] em relação a [tex3]BI,[/tex3] considere [tex3]T[/tex3] o pé dessa altura.


[tex3]\large 3)[/tex3] É fácil ver que [tex3]I\hat{B}G\,=\,30^\circ[/tex3]


Seja [tex3]BT\,=\,x,[/tex3] então temos

[tex3]\large 4)[/tex3] [tex3]\textrm{tg}I\hat{B}G\,=\,\frac{TG}{TI} \,\Rightarrow\,\frac{\sqrt{3}}{3}\,=\,\frac{TG}{\sqrt{11}\,-\,x}[/tex3] encontrando [tex3]TG[/tex3] em função de [tex3]x[/tex3].


[tex3]\large 5)[/tex3] Finalmente de [tex3]\triangle DCI\,\sim\,\triangle GTI[/tex3] encontraremos o valor de [tex3]x[/tex3] e portanto [tex3]TG.[/tex3]

[tex3]\large 6)[/tex3] A área do triângulo pode então ser calculada por [tex3]\frac{BI\,\cdot\,TG}{2}[/tex3]

[paulo testoniMOD]

Hola

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  AD07.png (5.01 KiB) Exibido 1739 vezes

Usando como parâmetro a imagem acima, temos:
Diz um teorema da geometria plana que: Toda a reta paralela a um dos lados de um triângulo determina um outro de lados respectivamente proporcionais ao primeiro. A reta paralela ao lado [tex3]AD[/tex3] é o segmento [tex3]IB,[/tex3] então podemos fazer:

• [tex3]\triangle ADE \sim\triangle IBE[/tex3]

• [tex3]\frac{\overline{AE}}{\overline{BE}}=\frac{\overline{DA}}{\overline{BI}}[/tex3]
  [tex3]\frac{(2\sqrt{11} + 2\sqrt{11})}{2\sqrt{11}}= \frac{2\sqrt{11}}{\overline{IB}}[/tex3]
  [tex3]\frac{4\cancel {\sqrt{11}}}{2\cancel {\sqrt{11}}}= \frac{2\sqrt{11}}{\overline{IB}}[/tex3]
  [tex3]\frac{4}{2}= \frac{2\sqrt{11}}{\overline{IB}}[/tex3]
  [tex3]4\cdot\overline{IB}=2\cdot2\sqrt{11}[/tex3]
  [tex3]\overline{IB}=\frac{\cancel4\sqrt{11}}{\cancel4}[/tex3]
  [tex3]\overline{IB}= \sqrt{11}[/tex3]

Temos três triângulos que nos interessam: [tex3]\triangle IBE, \triangle IGB[/tex3] e [tex3]\triangle GBE[/tex3]

Vamos chamar [tex3]\overline{BG} \text{ de } x.[/tex3]

Fazendo:

• [tex3][IBE] = [IGB] + [GBE][/tex3]
  
  [tex3]\frac{\sqrt{11}\cdot2\sqrt{11}}{2}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{11}\cdot x\cdot \sen30^\circ + \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{11}\cdot x\cdot \sen60^\circ[/tex3]
  
  [tex3]\frac{\sqrt{11}\cdot 2 \sqrt{11}}{2}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{11}\cdot x\cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{11}\cdot x\cdot \frac{\sqrt3}{2}[/tex3]
  
  [tex3]\frac{\sqrt{11}\cdot 2\sqrt{11}}{2}=\frac{\sqrt{11}\cdot x}{4} + \frac{2\sqrt{11}\cdot x\cdot \sqrt{3}}{4}[/tex3]

[tex3]\text{mmc}(2,4)= 4[/tex3]

• [tex3]2\cancel{\sqrt{11}}\cdot 2\sqrt{11}=\cancel{\sqrt{11}} x + 2\cancel{\sqrt{11}} x \sqrt3[/tex3]

• [tex3]4\sqrt{11} = x + 2x \sqrt3[/tex3]

Colocando [tex3]x[/tex3] em evidência, fica:

• [tex3]4\cdot \sqrt{11} = x(1 + 2\sqrt3)[/tex3]
  [tex3]x(2\sqrt3 + 1) = 4\sqrt{11}[/tex3]
  [tex3]x = \frac{4\sqrt{11}}{2\sqrt{3}+ 1}[/tex3]

Racionalizando, fica:

• [tex3]x = \frac{4 \sqrt{11}\cdot( 2\sqrt3 - 1)}{(2\sqrt3 + 1)\cdot(2\sqrt3 - 1)}[/tex3]
  [tex3]x = \frac{8 \sqrt{33} - 4 \sqrt{11}}{(2 \sqrt3)^2 - (1^2)}[/tex3]
  [tex3]x = \frac{8\sqrt{33} - 4 \sqrt{11}}{(12 - 1)}[/tex3]
  [tex3]x = \frac{8 \sqrt{33} - 4 \sqrt{11}}{11}[/tex3]

Agora calcula-se a área do triângulo pedido: [tex3]\triangle GBI[/tex3]

• [tex3][IGB] = \frac{1}{2}\cdot\sqrt{11}\cdot x\cdot \sen30^\circ[/tex3]
  [tex3][IGB] = \frac{1}{2}\cdot \sqrt{11}\cdot \left(\frac{8\sqrt{33} - 4\sqrt{11}}{11}\right)\cdot \frac{1}{2}[/tex3]
  [tex3][IGB] = \frac{\sqrt{11}\cdot (8\sqrt{33} - 4 \sqrt{11})}{4\cdot 11}[/tex3]
  [tex3][IGB] = \frac{\sqrt{11}\cdot (8\sqrt{33} - 4 \sqrt{11})}{4\cdot11}[/tex3]
  [tex3][IGB] = \frac{\sqrt{11}\cdot 8\sqrt{33} - 4\sqrt{11}\cdot \sqrt{11}}{4\cdot11}[/tex3]

Note que: [tex3]\sqrt{33}= \sqrt3\cdot \sqrt{11}.[/tex3] Então:

• [tex3][IGB] = \frac{\sqrt{11}\cdot 8\sqrt3\cdot \sqrt{11} - 4\cdot \sqrt{11}\cdot \sqrt{11}}{4\cdot11}[/tex3]

Mas [tex3]\sqrt{11}\cdot \sqrt{11} = (\sqrt{11})^2 = 11.[/tex3] Então:

• [tex3][IGB] = \frac{11\cdot 8\cdot \sqrt3 - 4\cdot 11}{4\cdot11}[/tex3]
  
  [tex3][IGB] = \frac{11\cdot 4\cdot2\sqrt3 - 4\cdot 11}{4\cdot11}[/tex3]

Colocando [tex3]4\cdot11[/tex3] em evidência:

• [tex3][IGB] = \frac{\cancel{4}\cdot\cancel{11}\cdot(2\sqrt{3} - 1)}{\cancel{4}\cdot\cancel{11}}[/tex3]

Portanto:

• [tex3][IGB] = 2\sqrt{3} - 1\text{ m^2 }[/tex3]