Pré-Vestibular ⇒ (MACK) Análise Combinatória: Fatoriais Tópico resolvido

[barbarahass]

Os números [tex3](2+100!); (3+100!);\ldots ;(100+100!)[/tex3]

a) são todos divisíveis por [tex3]100[/tex3]
b) são todos ímpares
c) são todos inteiros consecutivos não primos
d) formam uma progressão aritmética de razão [tex3]100![/tex3]
e) formam uma progressão aritmética de razão [tex3]100[/tex3]

Resposta:

---

c

[edu_landim]

Que todos números são inteiros e consecutivos isso é óbvio, cabe mostrar que nenhum deles é primo.

Se [tex3]n[/tex3] é inteiro maior do que [tex3]1[/tex3] e menor do que [tex3]101[/tex3], todo número da forma [tex3]n\,+\,100![/tex3] apresenta [tex3]n[/tex3] como fator comum, tirando esse fator em evidência teremos [tex3]n\,\cdot\,(1\,+\,N)[/tex3] com [tex3]N \in \mathbb{N}[/tex3], logo todos os números serão divisíveis por [tex3]n[/tex3] e [tex3]N\,+\,1[/tex3], sendo todos números compostos ou não primos como preferir.

[barbarahass]

Obrigado pela explicação edu_landim, consegui entender!
Abraços

[marmarcela]

Vcs poderiam dar mais algumas explicações eu ainda não entendi por inteiro, o raciocinio eu até acompanhei mas não consegui desenvolver a partir desta explicação.
De antemão grata.

[MeninoNeymar]

-são todos inteiros consecutivos não primos: CORRETO

[tex3]\rightarrow[/tex3] são inteiros consecutivos porque o próximo número é sempre uma unidade maior que o anterior:

100! + 3 = 100! + 2 + 1

[tex3]\rightarrow[/tex3] são não primos: para entender isso vou dar um exemplo de fatoração com a seguinte soma: 3 + 30 = 33

- o número 30 pode ser fatorado como: 1 X 2 X 3 X 5, logo a soma anterior pode ser escrita como:

3 + ( 1 x 2 X 3 X 5), colocando o 3 em evidência : 3 x { 1 + ( 1 X 2 X 1 X 5)} = 33

- o mesmo pode ser feito com os números da questão, lembrando que o número a ser somado com o 100! é um número entre 2 e 100

2 + 100! é o mesmo que 2 + ( 100 X 99 X 98 ... X 3 X 2 X 1), colocado o 2 em evidência fica:

2 x { 1 + ( 100 X 99 X 98 ... X 3 X 1 X 1)}, observando esse número podemos concluir que:

- ele é divisível por 2

- ele é divisível por 1 + ( 100 X 99 X 98 ... X 3 X 1 X 1)

- Portanto ele não pode ser primo, já que para ser primo só pode ser divisível por 1, -1, ele mesmo e -(ele mesmo)

-essa lógica se repete para todos os outros números dessa sequência como o 99 + 100! que pode ser escrito como:

99 X { 1 + ( 100 X 1 X 98 ... X 3 X 2 X 1)}

espero ter ajudado