IME / ITA ⇒ (Simulado IME/ITA) Valor Mínimo da Expressão Tópico resolvido

[Flavio2020]

Se [tex3]x[/tex3], [tex3]y[/tex3] e [tex3]z[/tex3] são números reais e positivos tais que [tex3]xyz(x+y+z)=1[/tex3], o menor valor da expressão [tex3](x+y)(y+z)[/tex3] é igual a:

a) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
b) [tex3]\frac{3}{2}[/tex3]
c) [tex3]\frac{4}{3}[/tex3]
d) [tex3]\frac{3}{2}[/tex3]
e) [tex3]2[/tex3]

[EsSA2018]

Olá,Resolvi a questão de uma forma mas não possuo convicção dela estar realmente correta , mas se for de ajuda...


Primeiro desenvolvi a resposta [tex3](X+Y)(X+Z)\rightarrow XY+XZ+YZ+Y^{2}[/tex3]

Se desenvolver a primeira igualdade posso achar algo parecido com que temos na resposta
[tex3]XYZ(X+Y+Z)\rightarrow XZ(XY+YZ+Y^{2})=1 \rightarrow XY+Y^{2}+YZ=\frac{1}{XZ}[/tex3]

Jogando isso na resposta [tex3]XZ+\frac{1}{XZ}=[/tex3]

Daqui em diante joguei valores para testar a variação sendo que [tex3]X[/tex3] e [tex3]Z \neq 0[/tex3] e reparei que quando jogamos para [tex3]X[/tex3] e [tex3]Z[/tex3] tal que o produto [tex3]XZ=1[/tex3] o valor fica o menor possível...(Substituindo)

[tex3]1\cdot 1+\frac{1}{1\cdot 1}=2[/tex3] e)

[Vinisth]

Olá a todos,

[tex3](x+y)(y+z)=xy+y^2+zx+yz=y(x+y+z)+zx=\frac y{xyz}+zx=zx+\frac1{zx}[/tex3]
[tex3]zx+\frac1{zx} \ge 2\sqrt{\left(\frac1{zx}\right)\left(zx\right)}=2[/tex3]
Desigualdade das médias

Abraço