Olimpíadas ⇒ (OBM - NVL3 - 2004) Equação Irracional

[GehSillva7]

O conjunto das raízes da equação [tex3]\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}} = 2[/tex3] é:

a) {1} b) {1,2} c) [1,2] d) (1,2) e) {2}

[Auto Excluído (ID:12031)]

[tex3]x -2\sqrt{x-1} = (\sqrt{x-1}-1)^2 = (1-\sqrt{x-1})^2 [/tex3]
[tex3]x + 2\sqrt{x-1} = (\sqrt{x-1}+1)^2[/tex3]
letra c

[alexander4102]

Fazendo a substituição [tex3]y=\sqrt{x-1}[/tex3], temos [tex3]x = y^2+1[/tex3]. Reescrevendo a equação:
[tex3]\sqrt{y^2 + 1 + 2y} + \sqrt{y^2 + 1 - 2y} = 2[/tex3]
[tex3]\sqrt{(y+1)^2} + \sqrt{(y-1)^2} = 2[/tex3]
[tex3]y+1 + |y-1| = 2[/tex3]

Podemos fazer a passagem acima pois [tex3]y\ge0[/tex3].
Se [tex3]y\ge1[/tex3], obtemos [tex3]y=1[/tex3] e [tex3]x=2[/tex3]
Para [tex3]0\le y <1[/tex3], a equação é verdadeira. Dessa forma, [tex3]x[/tex3] é solução se [tex3]1\le x<2[/tex3]
Portanto, o conjunto das soluções da equação é [tex3][1,2][/tex3]

Resposta: Alternativa C

[Babi123]

sousóeu, eu entendi que [tex3]x -2\sqrt{x-1} [/tex3] é o resultado do desenvolvimento de [tex3](1-\sqrt{x-1})^2 [/tex3], analogamente, para [tex3]x + 2\sqrt{x-1} = (\sqrt{x-1}+1)^2[/tex3], mas não compreendi oq isso acarreta em [tex3]x \in\[1,2\][/tex3]. Grata por esclarecimentos.

[Auto Excluído (ID:12031)]

foi o que o usuário acima detalhou: das condições de existência [tex3]x \geq 1[/tex3]
e como se [tex3]1 \leq x \leq 2[/tex3] então [tex3]\sqrt{x - 2\sqrt{x-1}} = 1 - \sqrt{x-1}[/tex3] que dá a resposta, x fora desse intervalo dá [tex3]\sqrt{x-2\sqrt{x-1}} = \sqrt{x-1} -1[/tex3] e ai fazendo as contas não chegamos nunca em 2

[Auto Excluído (ID:21063)]

[tex3]y+1 + |y-1| = 2[/tex3]

Por que não fez módulo no y+1? Eu também não entendi direito esse intervalo, alguém pode me explicar detalhadamente? Muito obrigado.