Olimpíadas ⇒ (Argentina 97) Equação Irracional Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:21063)]

Encontrar todos os valores de x que são soluções da equação:

[tex3]\sqrt{19-x}+\sqrt{97+x}=14[/tex3]

Resposta

---

3 ou -81.

[kagenizio]

Olá !!

[tex3]\sqrt{19-x}+\sqrt{97-x}=14[/tex3]

Elevando ao quadrado os dois lados da equação:

[tex3]19-x+2\sqrt{(19-x)(97+x)}+97+x=196[/tex3]
[tex3]2\sqrt{(19-x)(97+x)}=80[/tex3]
[tex3]\sqrt{1843+19x-97x-x^{2}}=40[/tex3]

Elevando ao quadrado, novamente, os dois lados da equação:
[tex3]1843+19x-97x-x^{2}=1600[/tex3]
[tex3]-x^{2}-78x+243=0[/tex3]

[tex3]x=\frac{-(-78)\pm \sqrt{(-78)^{2}-4\cdot (-1)\cdot 243}}{2\cdot (-1)}[/tex3]
[tex3]x=\frac{78\pm 84}{-2}[/tex3]

[tex3]\therefore x=3 [/tex3] ou [tex3]x=-81[/tex3]

[Vinisth]

Olá a todos

Segunda solução
[tex3]\sqrt{19-x}+\sqrt{97+x}=14 \iff \frac{-78-2x}{\sqrt{19-x}-\sqrt{97+x}}=14[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
\sqrt{19-x}+\sqrt{97+x}=14 \\
\sqrt{19-x}-\sqrt{97+x}=-\frac{78-2x}{14}
\end{cases}[/tex3]

[tex3]2\sqrt{19-x}=\frac{-2x-78}{14}+14 \iff S=\{x \in R| x=3, x=-81\}[/tex3]

Abraço !