Ensino Superior ⇒ Calculo de fluxo de campo vetorial através de superfície. Tópico resolvido

[Guferreira]

Calcule o fluxo do campo vetorial [tex3]f(x,y,z)=(xze^{y},-xze^{y},z)[/tex3] através da superfície S, que é a superfície superior a parte do plano [tex3]x+y+z=1[/tex3] que está no primeiro octante.

Resposta

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[tex3]\frac{-1}{6}[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Obs. A questão não fala qual é o sentido da orientação, porém , vou considerar como sendo para baixo, pois só assim vamos chegar ao gabarito dado.

Solução

[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{S}^{}\vec
{F}.\vec{n} \ dS[/tex3], onde [tex3]\vec{F}( x , y , z )=xze^y\vec{i}-xze^y\vec{j}+z\vec{k}[/tex3], daí;

O esboço de S está representado na figura abaixo:

15291493980891705350117.jpg (45.17 KiB) Exibido 1385 vezes

A superfície pode ser descrita por S : z = 1 - x - y = f( x , y ) , com ( x , y ) [tex3]\in [/tex3] D : 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1 - x . Um vetor normal a S é dado por N = [tex3](-f_{x},-f_{y}, 1 )[/tex3]= ( 1 , 1 , 1 ). Como [tex3]\vec{n}[/tex3] aponta para baixo então [tex3]\vec{n}=\frac{(-1,-1,-1)}{\sqrt{3}}[/tex3]. Temos que;

[tex3]dS=\sqrt{1+(f_{x})^2+(f_{y})^2}dxdy=\sqrt{3}dxdy.[/tex3]. Então:

[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{S}^{}\vec
{F}.\vec{n} \ dS = \int\limits_{}^{}\int\limits_{S}^{}(xze^y,-xze^y,z).\frac{(-1,-1,-1)}{\sqrt{3}}dS=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{S}^{}(-xze^y + xze^y + z).\frac{(-1,-1,-1)}{\sqrt{3}}dS=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{S}^{}\frac{(xze^y - xze^y - z)}{\sqrt{3}}dS=\int\limits_{}^{}\int\limits_{S}^{}\frac{-z}{\sqrt{3}}dS=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{D}^{}\frac{-1+x+y}{\sqrt{3}}.\sqrt{3}dxdy=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{D}^{}(-1+x+y )dxdy=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1-x}(-1+x+y )dydx=[/tex3]

[tex3]\int\limits_{0}^{1}[-y+xy+\frac{y^2}{2}]_{0}^{1-x}dx=[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{1}(2x-x^2-1)dx=\frac{1}{2}.[x^2-\frac{x^3}{3}-x]_{0}^{1}= \frac{1}{2}.( 1- \frac{1}{3}-1)= -\frac{1}{6}[/tex3]

Portanto, o fluxo do campo vetorial vale - 1/6.

Bons estudos!!