Ensino Superior ⇒ EDO - Provar que a solução está correta Tópico resolvido

[diegolins]

Pessoal, boa tarde!

Como faço para provar que a solução de uma EDO está correta?

Considere a EDO:

[tex3]e^{y}.sen(2x)dx-(e^{2y}-y)dy[/tex3].

Dica: sen(2x) = 2.sen(x).cos(x)

a) Encontre a solução geral.
b) Prove que a solução obtida está correta.

Resolvendo a EDO, consegui encontrar a seguinte solução:
[tex3]sen^{2}x-e^{y}-\left(\frac{y+1}{e^{y}}\right)=k[/tex3]

Gostaria de saber, a partir daqui, como faço para provar que a solução encontrada está correta.

Desde já agradeço! Obrigado!

[Cardoso1979]

Observe

Verificação:

[tex3]sen^{2}(x)-e^y-\left(\frac{y+1}{e^y}\right)=K[/tex3] ←→

[tex3]\frac{d}{dx}[sen^2(x) - e^y-\left(\frac{y+1}{e^y}\right)]=0[/tex3]←→

[tex3]\frac{\partial }{\partial x}[sen^2(x) - e^y-\left(\frac{y+1}{e^y}\right)] + \frac{\partial }{\partial y} [sen^2(x) - e^y-\left(\frac{y+1}{e^y}\right)]\frac{dy}{dx}=0[/tex3] ←→

[tex3]2sen(x).cos(x)-0-0+ (0-e^y+\frac{y}{e^y})\frac{dy}{dx}=0[/tex3]←→

[tex3]sen(2x)- (e^y-\frac{y}{e^y})\frac{dy}{dx}=0[/tex3]←→

Logo;

[tex3]e^y.sen(2x)dx- (e^{2y}-y)dy=0[/tex3] c.q.p.


Bons estudos!!

[diegolins]

Olá, Cardoso! Bom dia!

Teria condições de tentar explicar o que você fez?

Se eu entendi bem, o que você fez foi o seguinte:

[tex3]\frac{d}{dx}(F(x,y))=\frac{\partial}{\partial x}(F(x,y)) + \frac{\partial }{\partial y} (F(x,y))[/tex3]

Sendo bem sincero, no estudo de EDO e na definição de EDO exata, sempre tive dúvida na notação utilizada... Vou tentar explicar...

O primeiro termo dessa derivada, que é [tex3]\frac{d}{dx}(F(x,y))[/tex3] representa o quê? Tenho algumas ideias que estão deixando minha mente em colapso, kkkkk...

Ideia 1:
O termo "dx", me leva (acho que erroneamente) a conclusão de que o termo acima representa o diferencial da função em relação a x.

Ideia 2:
Mas, ao mesmo tempo, tenho uma outra conclusão: se a simbologia realmente indicasse o diferencial de F(x,y) em relação a x, a simbologia deveria ser [tex3]\frac{\partial}{\partial x}(F(x,y))[/tex3]. Contrariando assim a minha própria ideia 1.

Ideia 3:
Por fim, uma outra conclusão (que acho ser a correta), o termo [tex3]\frac{d}{dx}(F(x,y))[/tex3] representa o diferencial total da função. A minha dúvida é: pq se usa [tex3]\frac{d}{dx}(F(x,y))[/tex3] e não, por exemplo, [tex3]\frac{d}{dy}(F(x,y))[/tex3], ou qualquer outra notação que não possa gerar essa confusão?

Acredito que estou tendo certas dificuldades no entendimento de algumas definições de EDO devido à notação ou simbologia utilizadas para as derivadas ordinárias, parciais e totais... Será que consegue me dar uma ajuda nesse caso?

Também não entendi que calculando [tex3]\frac{d}{dx}(F(x,y))[/tex3] a partir da solução encontrada, vai me garantir "provar" que tal solução é a correta. Mas acredito que isso seja consequência do entendimento das dúvidas acima.

Desde já agradeço e peço desculpa o textão. rs

Abraço!

[Cardoso1979]

Olá, Cardoso! Bom dia!

Teria condições de tentar explicar o que você fez?

Se eu entendi bem, o que você fez foi o seguinte:

[tex3]\frac{d}{dx}(F(x,y))=\frac{\partial}{\partial x}(F(x,y)) + \frac{\partial }{\partial y} (F(x,y))[/tex3]

Sendo bem sincero, no estudo de EDO e na definição de EDO exata, sempre tive dúvida na notação utilizada... Vou tentar explicar...

O primeiro termo dessa derivada, que é [tex3]\frac{d}{dx}(F(x,y))[/tex3] representa o quê? Tenho algumas ideias que estão deixando minha mente em colapso, kkkkk...

Ideia 1:
O termo "dx", me leva (acho que erroneamente) a conclusão de que o termo acima representa o diferencial da função em relação a x.

Ideia 2:
Mas, ao mesmo tempo, tenho uma outra conclusão: se a simbologia realmente indicasse o diferencial de F(x,y) em relação a x, a simbologia deveria ser [tex3]\frac{\partial}{\partial x}(F(x,y))[/tex3]. Contrariando assim a minha própria ideia 1.

Ideia 3:
Por fim, uma outra conclusão (que acho ser a correta), o termo [tex3]\frac{d}{dx}(F(x,y))[/tex3] representa o diferencial total da função. A minha dúvida é: pq se usa [tex3]\frac{d}{dx}(F(x,y))[/tex3] e não, por exemplo, [tex3]\frac{d}{dy}(F(x,y))[/tex3], ou qualquer outra notação que não possa gerar essa confusão?

Acredito que estou tendo certas dificuldades no entendimento de algumas definições de EDO devido à notação ou simbologia utilizadas para as derivadas ordinárias, parciais e totais... Será que consegue me dar uma ajuda nesse caso?

Também não entendi que calculando [tex3]\frac{d}{dx}(F(x,y))[/tex3] a partir da solução encontrada, vai me garantir "provar" que tal solução é a correta. Mas acredito que isso seja consequência do entendimento das dúvidas acima.

Desde já agradeço e peço desculpa o textão. rs

Abraço!

Olá!

Tem um site muito bacana , com mais questões desse tipo( verificação ).

http://www.igm.mat.br/aplicativos/index ... &Itemid=43


Essa maneira que eu fiz , na minha opinião é a mais prática e mais fácil!

[diegolins]

Caramba, Cardoso.

Não sabe o quanto ajudou! Ao ler os assuntos constantes no site, vi uma informação que me fez finalmente entender essa notação.

Posso resumir da seguinte forma o meu entendimento.

Dada F(x,y), com y(x). Supondo F(x,y)=K, podemos fazer:

"F depende de x e de y. E y depende de x. X é a variável independente. Usando aquele "famosinho" jogo das setas..."

F ---> x
'-----> y -----> x

Agora calculando a derivada de F em relação a X, temos:

[tex3]\frac{d}{dx}F(x,y)=\frac{d}{dx}K \rightarrow \frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}.\frac{dy}{dx} = 0[/tex3]

Multiplicando tudo por dx, obtemos:

[tex3]\frac{d}{dx}F(x,y)=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy = 0[/tex3]

Por fim... Entendi tudo que foi feito.

Muito obrigado.

[Cardoso1979]

Caramba, Cardoso.

Não sabe o quanto ajudou! Ao ler os assuntos constantes no site, vi uma informação que me fez finalmente entender essa notação.

Posso resumir da seguinte forma o meu entendimento.

Dada F(x,y), com y(x). Supondo F(x,y)=K, podemos fazer:

"F depende de x e de y. E y depende de x. X é a variável independente. Usando aquele "famosinho" jogo das setas..."

F ---> x
'-----> y -----> x

Agora calculando a derivada de F em relação a X, temos:

[tex3]\frac{d}{dx}F(x,y)=\frac{d}{dx}K \rightarrow \frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}.\frac{dy}{dx} = 0[/tex3]

Multiplicando tudo por dx, obtemos:

[tex3]\frac{d}{dx}F(x,y)=\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy = 0[/tex3]

Por fim... Entendi tudo que foi feito.

Muito obrigado.