Ensino Médio ⇒ Função trigonométrica inversa Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:20047)]

Sejam [tex3]\alpha =arcsen\left(\frac{4}{5}\right)[/tex3] um arco no 2 quadrante e [tex3]\beta=arctg\left(-\frac{4}{3}\right)[/tex3] um arco no 4 quadrante.Calcule 25.[tex3]cos(\alpha+\beta) [/tex3].

Tenho dúvida quanto aos quadrantes...As restrições não deveriam ser:

[tex3]-\frac{\pi }{2}\leq \alpha \leq \frac{\pi }{2}[/tex3] e

[tex3]-\frac{\pi }{2}<\beta<\frac{\pi }{2}[/tex3]


?

[danjr5]

Olá sirisaac!

Sejam [tex3]\alpha =arcsen\left(\frac{4}{5}\right)[/tex3] um arco no 2 quadrante e [tex3]\beta=arctg\left(-\frac{4}{3}\right)[/tex3] um arco no 4 quadrante.Calcule 25.[tex3]cos(\alpha+\beta) [/tex3].

Tenho dúvida quanto aos quadrantes...As restrições não deveriam ser:

[tex3]-\frac{\pi }{2}\leq \alpha \leq \frac{\pi }{2}[/tex3] e

[tex3]-\frac{\pi }{2}<\beta<\frac{\pi }{2}[/tex3]

?

CONDIÇÃO I:

[tex3]\mathsf{\alpha = \arcsin \left ( \frac{4}{5} \right ) \Rightarrow \boxed{\mathsf{\sin \alpha = \frac{4}{5}}}}
[/tex3]

Com efeito, como [tex3]\mathsf{\frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \pi}[/tex3], fazemos:

[tex3]\\ \mathsf{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1} \\\\ \mathsf{\left ( \frac{4}{5} \right )^2 + \cos^2 \alpha = 1} \\\\ \mathsf{\cos^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25}} \\\\ \mathsf{\cos^2 \alpha = \frac{9}{25}} \\\\ \boxed{\mathsf{\cos \alpha = - \frac{3}{5}}}[/tex3]


CONDIÇÃO II:

[tex3]\\ \mathsf{\beta = \arctan \left ( - \frac{4}{3} \right )} \\\\\\ \mathsf{\tan \beta = - \frac{4}{3}} \\\\\\ \mathsf{\tan \beta = - \frac{4k}{3k}, \quad \forall \, k \in \mathbb{Z^*}} \\\\\\ \mathsf{\frac{\sin \beta}{\cos \beta} = - \frac{4k}{3k} \Rightarrow \begin{cases} \mathsf{\sin \beta = - 4k} \\ \mathsf{\cos \beta = 3k} \end{cases}}[/tex3]

[tex3]\\ \mathsf{\sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1} \\\\ \mathsf{(- 4k)^2 + (3k)^2 = 1} \\\\ \mathsf{16k^2 + 9k^2 = 1} \\\\ \mathsf{25k^2 = 1} \\\\ \mathsf{k = \pm \frac{1}{5}}[/tex3]

No entanto, uma vez que [tex3]\mathsf{\frac{3\pi}{2} \leq \beta \leq 2\pi}[/tex3], fazemos:

[tex3]\\ \begin{cases} \mathsf{\sin \beta = - 4k} \\ \mathsf{\cos \beta = 3k} \end{cases} \\\\\\ \mathsf{\Rightarrow \boxed{\mathsf{\sin \beta = - \frac{4}{5}}} \quad \wedge \quad \boxed{\cos \beta = \frac{3}{5}}}[/tex3]


Por fim,

[tex3]\\ \mathsf{25 \cdot \cos \left ( \alpha + \beta \right ) =} \\\\ \mathsf{25 \cdot \left ( \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta \right ) =} \\\\ \mathsf{25 \cdot \left [ \left (- \frac{3}{5} \right ) \cdot \frac{3}{5} - \frac{4}{5} \cdot \left ( - \frac{4}{5} \right ) \right ] =} \\\\ \mathsf{25 \cdot \left ( - \frac{9}{25} + \frac{16}{25} \right ) =} \\\\ \mathsf{25 \cdot \frac{7}{25}} \\\\ \boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{7}}}}[/tex3]

[Auto Excluído (ID:20047)]

danjr5, minha dúvida é como é possível uma função inversa do seno ter imagem no segundo quadrante,sendo que para transformarmos uma função seno em função arco-seno temos que fazer uma restrição da função ao intervalo [tex3][-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}][/tex3]...Tô muito confuso :S

[Auto Excluído (ID:20047)]

Ah,acho que não necessariamente precisamos pegar esse intervalo..pegando [tex3][\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}][/tex3] daria no mesmo.
Acho que se trata disso,abraços!