IME / ITA ⇒ (ITA - 2008) Números Complexos: Forma Algébrica Tópico resolvido

[Natan]

Sejam [tex3]\alpha, \beta \in \mathbb{C}[/tex3] tais que [tex3]|\alpha|=|\beta|=1[/tex3] e [tex3]|\alpha-\beta|=\sqrt{2}.[/tex3] Então [tex3]\alpha^2+\beta^2[/tex3] é igual a

a) [tex3]{-}2[/tex3]
b) [tex3]0[/tex3]
c) [tex3]1[/tex3]
d) [tex3]2[/tex3]
e) [tex3]2i[/tex3]

[fabit]

Dá [tex3]0[/tex3] porque a diferença de argumentos entre os dois complexos é de um ângulo reto. Essa diferença é dobrada quando elevamos cada um deles ao quadrado. Em seguida, somando esses quadrados, estamos somando complexos opostos.

Letra (b).

[triplebig]

Será que você poderia esclarecer melhor essa explicação, eu não entendi direito da onde veio essas informações ou como você usou, se sequer precisou, a informação [tex3]|\alpha-\beta|=\sqrt{2}[/tex3] . Eu resolvi de outra maneira, mas não tem relação com o que você disse.
Abraços

[bareta]

[tex3]|\alpha-\beta|=\sqrt{2}[/tex3] significa que a distância entre os afixos dos complexos é [tex3]\sqrt{2}[/tex3], logo eles estão nos vértices opostos de um quadrado unitário. Faça um desenho para acompanhar o resto da solução do fabit.

[fabit]

Bareta entendeu corretamente como usei [tex3]|\alpha-\beta|=\sqrt{2}[/tex3] para concluir que os vetores complexos têm argumentos que diferem por um ângulo reto, mas explicou muito resumidamente, cometendo o mesmo "pecado" que eu.

Onde Bareta escreveu "quadrado unitário" leia-se "quadrado inscrito em círculo unitário", ou seja, não estamos falando de um quadrado de área 1, mas sim um quadrado inscrito num círculo de raio 1, pois [tex3]|\alpha|=|\beta|=1[/tex3].

Como os afixos estão na borda do círculo e a razão entre a distância que os separa e o raio do círculo é [tex3]\sqrt{2}[/tex3], então o segmento que os une é o lado do quadrado inscrito no círculo em questão, daí a sacada de que os argumentos estão defasados de ângulo reto.

O resto é mais básico: sabemos que ao elevar um complexo ao quadrado, seu argumento dobra. Por distributividade, a diferença entre os argumentos de dois complexos que são elevados ao quadrado também dobra. Portanto, se [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] estão com defasagem de ângulo reto, então [tex3]\alpha^2[/tex3] e [tex3]\beta^2[/tex3] estão defasados de ângulo raso e portanto apontam em sentidos opostos. Como possuem mesmo módulo, anulam-se ao serem somados.

[triplebig]

Ahn saquei, mto obrigado pelo esclarecimento. Bem mais fácil do que o jeito algébrico que fiz.

[jneto]

Boa noite,

Eu sei que o problema já foi resolvido, mas como aqui é a sala de Matemática IME/ITA, um comentário adicional não é um exagero. Há várias maneiras de realizar o corpo [tex3]\mathbb{C}[/tex3], uma delas é como o plano [tex3]\mathbb{R^{2}}[/tex3] munido de uma estrutura de [tex3]\mathbb{R}[/tex3]-álgebra. Toda essa frase complicada não passa da definição usual.
Pois bem, com essa realização, temos que o módulo do número complexo é a norma usual do plano, portanto:

[tex3]||\alpha - \beta||^{2} = <\alpha - \beta,\alpha - \beta> = <\alpha,\alpha> + <\beta,\beta> -2<\alpha,\beta> = \\
= ||\alpha||^{2} + ||\beta||^{2} - 2||\alpha||.||\beta||\cos\theta = 1 + 1 - 2\cos\theta = 2 \to \cos\theta = 0 \\
\to \boxed{\theta = \frac{\pi}{2}}[/tex3]

Usando a fórmula de Euler:

[tex3]\alpha = e^{i\phi} \to \boxed{\alpha^{2} = e^{i(2\phi)}}\\
\beta = e^{i(\phi + \frac{\pi}{2})} \to \beta^{2} = e^{i(2\phi + \pi)} = e^{i(2\phi)}e^{i\pi} \to \boxed{\beta^{2} = -e^{i(2\phi)}}[/tex3]

Portanto: [tex3]\boxed{\alpha^{2} + \beta^{2} = (0,0)}[/tex3]


Feliz Ano Novo e fiquem com Deus