Olimpíadas ⇒ (Irlanda) Equação Tópico resolvido

[Hanon]

Determine todos os pares de inteiros [tex3](m,n)[/tex3] tais que [tex3]m\cdot n\geq0[/tex3] e
[tex3]m^3+n^3+99mn=33^3[/tex3].

[Ittalo25MOD]

[tex3]33^3-n^3-m^3 = 3\cdot 33 \cdot (-n) \cdot (-m)[/tex3]

Pela identidade de Gauss:

[tex3]33^3-n^3-m^3 - 3\cdot 33 \cdot (-n) \cdot (-m) = (33-n-m) \cdot (33^2+n^2+m^2+33n+33m-mn)[/tex3]
[tex3]3\cdot 33 \cdot (-n) \cdot (-m) - 3\cdot 33 \cdot (-n) \cdot (-m) = (33-n-m) \cdot (33^2+n^2+m^2+33n+33m-mn)[/tex3]
[tex3]0 = (33-n-m) \cdot (33^2+n^2+m^2+33n+33m-mn)[/tex3]

Se o segundo fator for zero, então:

[tex3]33^2+n^2+m^2+33n+33m-mn=0[/tex3]
[tex3]2\cdot 33^2+2n^2+2m^2+2\cdot 33n+2\cdot 33m-2mn=0[/tex3]
[tex3](m-n)^2 +(33+n)^2+(33+m)^2 =0[/tex3]

Assim: [tex3]m = n = -33 [/tex3]

Se o primeiro fator for zero, então:

[tex3]33-n-m=0[/tex3]
[tex3]33-n=m[/tex3]

Então as soluções são: [tex3]\boxed {m=n=-33} [/tex3] ou [tex3]\boxed {m = 33-n} [/tex3] com [tex3]mn\geq 0[/tex3]