Pré-Vestibular ⇒ (Unioeste) Paralelepípedos Retangulares Tópico resolvido

[Prince]

Justapondo dois paralelepípedos retangulares de arestas 1, 1 e 2, constrói-se um "L", conforme representado na figura a seguir A respeito do sólido correspondente ao L, é correto afirmar que

cubo.png (3.74 KiB) Exibido 5303 vezes

01. tem 6 faces. ( claramente e falsa)
02. tem 12 vértices.
04. tem 18 arestas.
08. a distância do vértice A ao vértice B é igual a raiz de 14 unidades de comprimento.
16. o plano que passa pelos vértices C, D e E divide o sólido em duas partes tais que a razão entre o volume da parte maior e o volume da parte menor é igual a 5/3.

Resposta

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fvvvv

Bem, a minha duvida em relação a segunda ,não deveria tratar como sendo apenas um poliedro não ? seria 10 vértices ?
em relação a 04 - parecido com a primeira se e para tratar como apenas um certo? Não deveria desconsiderar as linhas duplas como apenas um lado desse novo poliedro?
As outras queria a resolução detalhada se possível grato..

[AndreBRasera]

Eaí, parceiro, tranquilo?

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Redesenhei aqui o poliedro formado. Agora é só contar (lembra que vértice é a intersecção entre duas arestas distintas, ok? Então os vértices que estão "pra dentro" do poliedro também contam). Temos 12 vértices e 18 arestas. Também temos 8 faces. E olha só, ta de acordo com aquela fórmula de Euler: [tex3]V+F=A+2\rightarrow 12+8=18+2\rightarrow 20 = 20[/tex3]

Pra ficar mais simples de visualizar o próximo item, vou rotacionar um pouco a figura e omitir algumas arestas, ok?

Imagem6.png (74.55 KiB) Exibido 5255 vezes

Formei aqui um novo paralelepípedo. Observe que o que queremos é a diagonal de vértices opostos desse paralelepípedo, que tem uma fórmula (pode ser rapidamente demonstrada por Pitágoras. Se não conhece, dá uma olhada aqui: https://www.colegioweb.com.br/paralelep ... gonal.html)

Daí, [tex3]D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}[/tex3], sendo a, b e c a altura, comprimento e largura.

Dois lados já conhecemos, [tex3]\overline{CB}[/tex3] e [tex3]\overline{CG}[/tex3], que valem respectivamente 2 e 1. Já o lado [tex3]\overline{AG}[/tex3] é igual à soma de um dos lados pequenos dos paralelepípedos iniciais (que valem 1) com o lado grande (que vale 2). Por isso, a terceira medida vale 3.
Então: [tex3]\overline{AB}=\sqrt{2^2+1^2+3^2}=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}[/tex3]. Provado o quarto item.


Para o último, temos que calcular o volume total do poliedro e depois calcular o volume da secção menor, aí subtrair pra encontrar a secção maior e montar a razão entre ambos:

O volume total é fácil: é só somar o volume dos dois paralelepípedos iniciais: [tex3]2\cdot 1\cdot 1+2\cdot 1\cdot 1=4[/tex3]

Para encontrarmos o volume da secção...

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A secção é composta por dois prismas triangulares; para encontrarmos seus volumes, encontramos o valor da área da base (do triângulo) e depois multiplicamos pela profundidade.

Para o triângulo grandão, é fácil:

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[tex3]V=\frac{2\cdot 1}{2}\cdot 1=1[/tex3]

No menor, temos que encontrar o valor da altura. pra isso, é preciso usar semelhança de triângulos:

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2 está para 1 assim como 1 está para... 0,5. Agora vamos inserir os valores:

Imagem1.png (21.74 KiB) Exibido 5255 vezes

Daí, [tex3]V=\frac{1\cdot 0,5}{2}\cdot 2=0,5[/tex3]

O volume total da secção é a soma do volume dos dois prismas: [tex3]1+0,5=1,5[/tex3]

O volume do prisma é 4, logo, as duas partes valem 1,5 e 2,5. A razão é [tex3]\frac{2,5}{1,5}=\frac{5}{3}[/tex3]

É isso aí. Se tiver alguma dúvida, ou quiser uma explicação mais detalhada, só pedir que tamo aí!

[Prince]

em relaçao a 8- pode sempre transformar em um poliedro conhecido para achar as distancias?
a 16-
o plano nao deveria ser em relaçao aos vertices cde porque essa curva?

[AndreBRasera]

Respondendo suas perguntas:

Sim, pode fazer isso, na verdade é uma das jogadas mais interessantes. Mas poderia ter usado dois Pitágoras assim:

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[tex3]b^2+c^2=x^2\rightarrow x^2+a^2=y^2\rightarrow y^2=a^2+b^2+c^2\rightarrow y=\sqrt{a^2+b^2+c^2}[/tex3]

O plano determinado por C, D e E é o seguinte:

Imagem2.png (56.09 KiB) Exibido 5246 vezes

Enxergou? Se ainda não conseguiu, pede que eu explico de novo haha

[Prince]

16-
entao quando se refere ao plano no caso e toda a intersecçao dum plano imaginario alinhado com o poliedro? por que ja fiz questoes em relaçao ao cubo que plano com 3 vertices seria um triangulo..

[AndreBRasera]

Ai, parceiro, entendi sua dúvida. O problema está na conceituação de seção transversal. Veja bem, os pontos C, D e E determinam um plano, que não tem limites nem formatos, se expande em todas as direções. Por isso ele não delimita um triângulo, porque se expande pra todas as direções dentro do sólido:

Imagem1.png (127.86 KiB) Exibido 5241 vezes

Para pra pensar: você quer cortar uma laranja em dois pedaços com um corte só. Você tem que atravessar toda a laranja. Não adianta fazer um corte como a primeira imagem, porque ela não vai se separar em dois pedaços. Precisa cortar ela inteira, como na segunda imagem. Isso é uma seção transversal, ok?

[Prince]

obrigado se poder responde as minhas outras quests

[Prince]

no caso eu tenho que atentar em relaçao na questao por exemplo plano que passa (corte completo no poliedro)
plano que cotem (plano formado por apenas os pontos alinhados )?

[AndreBRasera]

Exatamente. Quando se fala em "passar", "transpassar", "seção transversal", "corte transversal", o enunciado trata de corte completos no poliedro. Somente quando fala de polígonos que é preciso atentar-se à figura formada pelos pontos. Lembra que os planos são postulados matemáticos infinitos e ilimitados, por isso nunca se restringem a um polígono específico, certo?