IME / ITA ⇒ (IME - 2007) Equação Logarítmica Tópico resolvido

[Yuri]

Resolva a equação:

[tex3]\log_{(\text{sen} x + cos x)}(1+ \text{sen} 2x)=2,\,x \in \(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\)[/tex3]

Aew galera volteii dps de alguns dias ralando =P

[mawapa]

Ae Yuri!!

Bom primeiro vamos resolver o logaritmo

[tex3](\text{sen} x + cos x)^2 = 1 + \text{sen} 2x[/tex3]
[tex3]\text{sen}^2 x + cos^2 x + 2.\text{sen} x. cos x = 1 + \text{sen} 2x[/tex3]
[tex3]\text{sen} 2x = \text{sen} 2x[/tex3]

Então essa igualdade é verdadeira para qualquer valor de [tex3]x[/tex3]

Agora só falta verificar as condições de existência do logaritmo

[tex3]\begin{cases} 1+ \text{sen} 2x > 0 \\ \text{sen} x + cos x >0 \\ \text{sen} x + cos x \neq 1\end{cases}[/tex3]

vou testar valores somente com [tex3]\frac{-\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}[/tex3]

[tex3]\text{I) } \text{sen} 2x > -1[/tex3]

bom, para seno de qualquer coisa ele vária de [tex3]1[/tex3] a [tex3]{-}1,[/tex3] então [tex3]\text{sen} 2x \neq -1[/tex3],
seno é [tex3]{-}1[/tex3] somente quando o arco for [tex3]\frac{-\pi}{2}[/tex3], então

[tex3]2x \neq -\frac{\pi}{2}[/tex3]

[tex3]x \neq \frac -{\pi}{4}[/tex3]

[tex3]\text{II) } \text{sen} x + cos x \neq 1[/tex3]

Esse o jeito mais fácil q achei é elevando os dois lados ao quadrado, daí fica:

[tex3]\text{sen}^2 x + cos^2 x + \text{sen} 2x \neq 1[/tex3]
[tex3]\text{sen} 2x \neq 0[/tex3]

Agora os arcos que zeram o seno são [tex3]0,[/tex3] e [tex3]\pi[/tex3]

[tex3]2x \neq 0[/tex3]
[tex3]x \neq 0[/tex3]

[tex3]2x \neq \pi[/tex3]
[tex3]x \neq \frac{\pi}{2}[/tex3] como [tex3]{-}\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2},[/tex3] então esse valor não vai importar.


[tex3]\text{III) } \text{sen} x + cos x > 0[/tex3]

Como no primeiro quadrante [tex3](0,\frac{\pi}{2})[/tex3] o seno e o cosseno são positivos então, só vamos nos preocupar com o quarto quadrante [tex3](0,-\frac{\pi}{2})[/tex3].

sabendo que [tex3]\text{sen} -\frac{\pi}{4} = cos -\frac{\pi}{4}[/tex3]

bom, pensando assim, se o seno de [tex3]0[/tex3] até [tex3]{-}\frac{\pi}{2},[/tex3] vai variando de [tex3]0[/tex3] até [tex3]{-}1,[/tex3] e cosseno vai variando de [tex3]1[/tex3] até [tex3]0,[/tex3] portanto quando o valor do seno for maior que o valor do cosseno em módulo, a soma vai resultar em um valor negativo, e isso irá acontecer quando [tex3]x< -\frac{\pi}{4}[/tex3], então [tex3]x>-\frac{\pi}{4}[/tex3]

Fica melhor de visualizar desenhando as circunferências...

agora o final

[tex3]x \in (\frac{-\pi}{4},0)\cup (0,\frac{\pi}{2})[/tex3]

acho q é isso ai, se alguém souber um jeito mais fácil de verificar as restrições coloquem aí!

flw