Pré-Vestibular ⇒ FGV - Equação Trigonométrica

[Auto Excluído (ID:20047)]

O número de soluções da equação [tex3]1+senx -2|cos2x|=0[/tex3] com [tex3]0\leq x\leq 2\pi [/tex3] é:

Resposta

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Encontrei 3 soluções: [tex3]\frac{3\pi }{2};\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6}[/tex3]

[lusabar]

[tex3]1+senx -2|cos(2x)|=0[/tex3]
[tex3]1+senx=2|cos(2x)|[/tex3]
[tex3]\frac{1+senx}{2}=|cos(2x)|[/tex3]
[tex3]\frac{1+senx}{2}=|-2sen^2x+1|[/tex3]
Daí temos:
[tex3]-2sen^2x+1=\frac{1+senx}{2}[/tex3] ou [tex3]-2sen^2x+1=\frac{-1-senx}{2}[/tex3]
Vamos resolver a primeira equação:
[tex3]-4sen^2x+2=1+senx\rightarrow 4sen^2x+senx-1=0[/tex3]
[tex3]senx=\frac{-1\pm \sqrt{1-4.4.(-1)}}{2.4}[/tex3]
[tex3]senx=\frac{-1+\sqrt{17}}{8}[/tex3] ou [tex3]senx=\frac{-1-\sqrt{17}}{8}[/tex3]
Existem dois arcos cujo seno é igual a [tex3]\frac{-1+\sqrt{17}}{8}[/tex3], um no 1º e o outro no 2º quadrante (no intervalo dado)
Existem dois arcos cujo seno é igual a [tex3]\frac{-1-\sqrt{17}}{8}[/tex3], um no 3º e o outro no 4º quadrante (no intervalo dado)
Somando, até agora, temos quatro soluções
Vamos, agora, resolver a segunda equação:
[tex3]-2sen^2x+1=\frac{-1-senx}{2}[/tex3]
[tex3]-4sen^2x+2=-1-senx[/tex3]
[tex3]4sen^2x-senx-3=0[/tex3]
[tex3]senx=\frac{1\pm \sqrt{1-4.4.(-3)}}{2.4}[/tex3]
[tex3]senx=\frac{1\pm 7}{8}[/tex3]
[tex3]senx=1[/tex3] ou [tex3]senx= \frac{-3}{4}[/tex3]
Existe apenas um arco cujo seno é igual a [tex3]1[/tex3] (no intervalo dado)
Existem dois arcos cujo seno é igual a [tex3]\frac{-3}{4}[/tex3], um no 3º e o outro no 4º quadrante (no intervalo dado)
Somando tem-se 7 soluções para o problema inicial.