Ensino Médio ⇒ Conjunto-Imagem de função Arcsen Tópico resolvido

[AugustoITA]

Determine o conjunto-imagem da função:

[tex3]f(x) = \arcsen \sqrt{x}[/tex3]

Resposta

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[tex3]\[0;\frac{\pi }{2}\][/tex3]

[cajuADMIN]

Olá AugustoITA,

A função [tex3]f(x)=\arcsen(x)[/tex3] é a função inversa da função [tex3]f(x)=\sen(x)[/tex3] com domínio restringido de [tex3]\[-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}\][/tex3]. Portanto, a função [tex3]f(x)=\arcsen(x)[/tex3] só retorna valores entre [tex3]\[-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}\][/tex3].

No caso da função do seu exercício, como estamos calculando o arco cujo seno é [tex3]\sqrt{x}[/tex3], isso significa que só estaremos entrando com valores não-negativos (que são os números positivos ou zero) na função [tex3]\arcsen[/tex3], pois [tex3]\sqrt{x}[/tex3] é sempre não-negativo.

Ou seja, na sua questão, basicamente, estamos perguntando quais arcos possuem um seno não-negativo (dentro das possibilidades da definição da função [tex3]\arcsen[/tex3]). Sendo assim, [tex3]f(x) = \arcsen \sqrt{x}[/tex3] irá retornar somente arcos dentro de [tex3]\[0,\,\frac{\pi}{2}\][/tex3], que são todos arcos dentro de [tex3]\[-\frac{\pi}{2},\,\frac{\pi}{2}\][/tex3] que possuem seno não-negativo.

Grande abraço,
Prof. Caju