Ensino Médio ⇒ Diedro em um Octaedro Regular Tópico resolvido

[anatercia]

Calcule a medida de um diedro determinado por duas faces adjacentes de um octaedro regular.

[Cardoso1979]

Olá!

Será que a sua pergunta não seria isto:

arrumar.png (22.66 KiB) Exibido 1698 vezes

Veja exemplo de um diedro:

diedro.jpg (12.17 KiB) Exibido 1698 vezes

fonte: https://www.colegioweb.com.br/dietros-t ... edros.html

Porque se vc considerar a aresta "a" a medida será o próprio "a".


Abraços!!

[anatercia]

também achei estranho quando li, mas era dessa forma como estava escrito na minha apostila.

[Cardoso1979]

Observe

Solução

arrumar.jpg (40.38 KiB) Exibido 1698 vezes

No triângulo retângulo ABM, por Pitágoras, temos;

(AB)^2 = (AM)^2 + (BM)^2

a² = (AM)^2 + (a/2)^2

AM = (a√3)/2

Logo, AM = MN = (a√3)/2

No triângulo retângulo AMO, por Pitágoras, vem;

(AM)^2 = (AO)^2 + (OM)^2

[(a√3)/2]^2 = (AO)^2 + (a/2)^2

(3a²/4) - (a²/4) = (AO)^2

AO = (a√2)/2

Logo, AN = AO + ON = a√2.

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo AMN, temos;

(AN)^2 = (AM)^2 + (MN)^2 - 2.AM.MN.cos α

Efetuando os cálculos acima, obtemos:

cos α = - 1/3 ⇔ α = arc cos ( - 1/3 )


Bons estudos!