IME / ITA ⇒ (ITA - 2008) Geometria Espacial: Esfera Tópico resolvido

[Natan]

Um diedro mede [tex3]120^\circ .[/tex3] A distância da aresta do diedro ao centro de uma esfera de volume [tex3]4\sqrt{3}\pi \text{cm}^3[/tex3] que tangencia as faces do diedro é, em [tex3]\text{cm},[/tex3] igual a

a) [tex3]3\sqrt3[/tex3]
b) [tex3]3\sqrt2[/tex3]
c) [tex3]2\sqrt3[/tex3]
d) [tex3]2\sqrt2[/tex3]
e) [tex3]2[/tex3]

[F u r u y á]

O raio pode ser calculado a partir do volume dado:

• [tex3]4 \sqrt{3} \pi = \frac{4}{3} \pi r^3 \\
  r^3 = 3 \sqrt{3} \\
  r^3 = \sqrt{3^3} \\
  r^3 = 3^{\frac{3}{2}} \\
  r = \sqrt{3}\text{ cm}\\[/tex3]

Temos então a seguinte figura:

• 

  Visão plana da figura (através de plano passando pelo centro da esfera e ortogonal às faces do diedro)

  diedro.png (11.03 KiB) Exibido 4407 vezes

Assim, a distância pedida, [tex3]\overline {AC}[/tex3], é calculada a partir de [tex3]\sin {60^\circ}[/tex3] no triângulo [tex3]ACD[/tex3]:

• [tex3]\sin {60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{\overline {AC}}\\
  \overline {AC} = \frac{\sqrt{3}}{\sin{60^\circ}}\\
  \overline {AC} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\\
  \boxed{\overline {AC} = 2\text{ cm}}[/tex3]