Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica - Produto Misto Tópico resolvido

[lincoln1000]

Em relação a uma base ortonormal positiva, são dados os vetores [tex3]\vec{u}=(1, 2, -1)[/tex3], [tex3]\vec{v}=(0, 3, -4)[/tex3], [tex3]\vec{w}=(1, 0, \sqrt3)[/tex3] e [tex3]\vec{t}=(0, 0, 2)[/tex3]. Calcule o volume do tetraedro [tex3]ABCD[/tex3], sabendo que [tex3]\vec{AB}=proj_\vec{u}\vec{v}[/tex3], que [tex3]\vec{AC}[/tex3] é o vetor oposto do versor de [tex3]\vec{w}[/tex3] e que [tex3]\vec{BD}=proj_\vec{t}(\vec{AB}\wedge\vec{AC})[/tex3].

Resposta

---

[tex3]3/50[/tex3]

[Cardoso1979]

Olá!

Do jeito que o enunciado está a resposta será :

V = 25/54 u.v.

Você deve ter se equivocado em algum dado, e já sei onde foi!


Abraços!!

[lincoln1000]

Sim eu me enganei mesmo, na verdade [tex3]\vec{AB}=proj_\vec{v}\vec{u}[/tex3], tinha colocado o contrário, mil desculpas

[Cardoso1979]

Observe

Solução

[tex3]\vec{AB}= Proj_{v}\vec{u}=\frac{\vec{u}.\vec{v}}{\vec{v}.\vec{v}}.\vec{v}=\frac{(1,2,-1).(0,3,-4)}{(0,3,-4).(0,3,-4)}.(0,3,-4)[/tex3]

[tex3]\vec{AB}=\frac{10}{25}.(0,3,-4)=(0,\frac{30}{25},-\frac{40}{25})[/tex3]

[tex3]\vec{AB}=(0,\frac{6}{5},-\frac{8}{5})[/tex3]

Calculando o versor de [tex3]\vec{w}[/tex3], temos:

[tex3]|\vec{w}|=\sqrt{1^2+0^2+\sqrt{3}^2}=2[/tex3]

Daí;

[tex3]Vers.\vec{w}=\frac{\vec{w}}{|\vec{w}|}=\frac{(1,0,\sqrt{3})}{2}[/tex3]

Logo,

[tex3]Vers.\vec{w}=\left(\frac{1}{2} ,0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)[/tex3]

Calculando o oposto do versor de [tex3]\vec{w}[/tex3], vem;

[tex3]\vec{AC}=-Vers.\vec{w}= - \left(\frac{1}{2} ,0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right) [/tex3]

Logo;

[tex3]\vec{AC}=\left(-\frac{1}{2} ,0,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) [/tex3]

Por outro lado, calculando o produto vetorial de [tex3]\vec{AB}[/tex3] com [tex3]\vec{AC}[/tex3], vem;

[tex3]\vec{AB\wedge }\vec{AC}=\left| \begin{array}{rcr}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
0 & \frac{6}{5} & -\frac{8}{5}\\
-\frac{1}{2} & 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{array} \right|[/tex3]

Calculando o determinante acima, resulta;

[tex3]\vec{AB\wedge }\vec{AC}=-\frac{6\sqrt{3}}{10}.\vec{i} + \frac{8}{10}.\vec{j}+ \frac{6}{10}.\vec{k}[/tex3]

Logo;

[tex3]\vec{AB\wedge }\vec{AC}=\left(-\frac
{3\sqrt{3}}{5}, \frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)[/tex3]

Então,

[tex3]\vec{BD}=Proj_{\vec{t}}\vec{AB\wedge }\vec{AC}=\frac{\left(-\frac{3\sqrt{3}}{5},\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right).(0,0,2)}{(0,0,2).(0,0,2)}.(0,0,2)[/tex3]

[tex3]\vec{BD}=\frac{3}{10}.(0,0,2)[/tex3]

Logo,

[tex3]\vec{BD}=\left(0,0,\frac{3}{5}\right)[/tex3]


Por fim, calculamos o produto misto de [tex3][\vec{AB},\vec{AC},\vec{BD}][/tex3], temos:

[tex3][\vec{AB},\vec{AC},\vec{BD}]=\left| \begin{array}{rcr}
0 & \frac{6}{5} & -\frac{8}{5} \\
-\frac{1}{2} & 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2}\\
0 & 0 & \frac{3}{5}
\end{array} \right|[/tex3]

Calculando o determinante acima, resulta;

[tex3][\vec{AB},\vec{AC},\vec{BD}]=\frac{18}{50}[/tex3]

Então;

[tex3]V=\frac{1}{6}.|[\vec{AB},\vec{AC},\vec{BD}]|=\frac{18}{6.50}=\frac{3}{50}[/tex3]

Portanto,

V = 3/50 u.v.


Nota

Você pode proceder da seguinte maneira também ( procedimento mais adequado ):[tex3]\vec{AD}=\vec{AB}+\vec{BD}( faça \ o \ desenho \ do \ tetraedro \ que \ você \ irá \ entender
\ melhor ) [/tex3]

[tex3]\vec{AD}=\left(0,\frac{6}{5},-\frac{8}{5}\right)+\left(0,0,\frac{3}{5}\right)[/tex3]

Logo,

[tex3]\vec{AD}=\left(0,\frac{6}{5},-1\right)[/tex3]


[tex3]V=\frac{1}{6}.|(\vec{AB\wedge}\vec{AC}).\vec{AD}|[/tex3]


[tex3]V=\frac{1}{6}.|\left(-\frac{3\sqrt{3}}{5},\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right).\left(0,\frac{6}{5},-1\right)|[/tex3]

[tex3]V=\frac{1}{6}|\frac{9}{25}|[/tex3]

V = 9/(6.25) = 3/(2.25) = 3/50

Portanto, V = [tex3]\frac{3}{50}[/tex3] u.v.

Obs. Suponho que por se tratar de um tetraedro, tanto faz você proceder das duas maneiras acima!

Bons estudos!