Ensino Médio ⇒ questão de geometria euclidiana plana

[zocacorrea]

Considere o "plano" como sendo o conjunto formado por três pontos A, B e C; considere as retas deste "plano" com os subconjuntos {A,B}, {A,C} e {B,C}. Verifique que, nesta "geometria", os três postulados de incidẽncia são válidos e que nela não existem retas paralelas.

obs: Tenho muita dificuldade em matemática, por favor, poderiam detalhar a resolução.

[AnaCristina]

Olá! Primeiramente, vou sugerir uma breve correção: o axioma de incidência só possui 2 postulados, como consta no livro "Geometria Euclidiana Plana" de João Lucas Marques Barbosa, obra muito utilizada na disciplina de Geometria Euclidiana no curso de Licenciatura em Matemática.

Para solucionar essa questão, é necessário ter conhecimento dos 2 postulados de incidência que são:
1 - Qualquer que seja a reta, existem pontos que pertencem e pontos que não pertencem à reta.
2 - Dados dois pontos distintos, existe uma única reta que os contém.

Visto isso, vamos ao problema. Vamos chamar P = {A,B,C} de plano e r1 = {A,B}, r2 = {A,C} e r3 = {B,C} de retas do plano P. Note que, embora as retas sejam formadas por pontos finitos, cada reta possui apenas dois pontos do plano, ficando sempre o terceiro ponto de fora. Também perceba que, pegando quaisquer dois pontos, apenas uma reta passa por eles. Logo, esta "geometria" (ou plano de incidência) satisfaz os axiomas (ou postulados do axioma) de incidência.

Agora veremos se existem retas paralelas nesta "geometria". Antes, relembre que, para uma reta ser paralela a outra, é necessário que nunca se cruzem, nunca se toquem, nem sequer cruzem suas prolongações. Como o plano é formado por três pontos, onde A está ligado a B (pela reta r1), B está ligado a C (pela reta r3) e C está ligado a A (pela reta r2), o único polígono que podemos formar é o triângulo. Logo, é impossível que, em qualquer triângulo, suas retas sejam paralelas.

Espero ter ajudado!
- Ana Cristina
Licencianda em Matemática