Pré-Vestibular ⇒ (UFES - 2001) Razões e Proporções Tópico resolvido

[claudiomarianosilveira]

Uma concessionária de veículos comercializa dois modelos de automóveis, um popular e um de luxo. Sabe-se que as vendas do modelo popular correspondem a [tex3]60\%[/tex3] do total de veículos comercializados, mas, contribuem com apenas [tex3]20\%[/tex3] da receita. Qual é a razão entre o preço do modelo de luxo e o do modelo popular?

a) [tex3]3[/tex3]
b) [tex3]4[/tex3]
c) [tex3]5[/tex3]
d) [tex3]6[/tex3]
e) [tex3]7[/tex3]

[adrianotavares]

[tex3]L:[/tex3] total de carros de luxo
[tex3]y:[/tex3] preço de cada carro de luxo
[tex3]P:[/tex3] total de carros populares
[tex3]x:[/tex3] preço de cada carro popular

Como as vendas do modelo polular correspondem a [tex3]60\%[/tex3] do total de veículos comercializados podemos escrever:

• [tex3]P = 0,6\cdot (P + L)[/tex3]
  [tex3]P = 0,6P + 0,6L[/tex3]
  [tex3]0,4P = 0,6L[/tex3]
  [tex3]P = \frac{3L}{2}\text{ }(1)[/tex3]

Se eles contribuem com apenas [tex3]20\%[/tex3] da receita teremos:

• [tex3]20\% = \frac{1}{5}[/tex3]
  [tex3]Px:[/tex3] receita dos carros populares
  [tex3]Ly:[/tex3] receita dos carros de luxo
  [tex3]Px + Ly:[/tex3] receita total

• [tex3]Px = \frac{1}{5}\cdot (Px + Ly)\text{ }(2)[/tex3]

Substituindo [tex3](1)[/tex3] em [tex3](2)[/tex3] temos:

• [tex3]\frac{3Lx}{2} = \frac{1}{5}\cdot \left(Ly + \frac{3Lx}{2}\right)[/tex3]
  [tex3]\frac{3Lx}{2} = \frac{1}{5}\cdot \left(\frac{2Ly + 3Lx}{2}\right)[/tex3]
  [tex3]15Lx = 2Ly + 3Lx[/tex3]
  [tex3]12Lx = 2Ly[/tex3]
  [tex3]\frac{y}{x} = \frac{12L}{2L}[/tex3]
  [tex3]\frac{y}{x} = 6[/tex3]

Acredito que seja essa a resposta.

[fabit]

Legendas:

[tex3]L=[/tex3] preço do luxo, [tex3]P=[/tex3] preço pros pobres.

[tex3]n_L\text{ e }n_P,[/tex3] quantidades.
[tex3]x[/tex3] da questão: [tex3]x=\frac{L}{P}[/tex3]

Os dados são:

[tex3]60\%=\frac{n_P}{n_P+n_L}[/tex3], mas [tex3]20\%=\frac{P\times n_P}{P\times n_P+L\times n_L}[/tex3]

Da primeira informação, temos [tex3]0,6(n_P+n_L)=n_P\Rightarrow0,6n_P+0,6n_L=n_P\Rightarrow0,6n_L=0,4n_P\Rightarrow\frac{n_P}{n_L}=\frac{0,6}{0,4}=\frac{3}{2}[/tex3]

De segunda, [tex3]0,2P\times n_P+0,2L\times n_L=P\times n_P\Rightarrow0,2L\times n_L=0,8P\times n_P[/tex3]

Logo [tex3]\frac{L}{P}=\frac{0,8n_P}{0,2n_L}=4\times\frac{3}{2}=6[/tex3]