Ensino Médio ⇒ Pontos Médios do Quadrado

[Auto Excluído (ID:21471)]

Na figura, ABCD é um quadrado, onde BC + CE = AE. Sendo F o ponto médio de DC, prove BÂE = 2FÂD.

Eu já encontrei essa questão aqui no fórum, mas as resoluções estão usando trigonometria, mas há alguma maneira de resolvê-la utilizando relações entre os pontos médios do quadrado.

[jvmago]

encontrei aqui [tex3]BaE=180-2FaD[/tex3] vou verificar se não me equivoquei aqui

[jvmago]

Seja [tex3]M[/tex3] o ponto médio de [tex3]BC[/tex3] trace [tex3]AM[/tex3] e teremos [tex3]AF=AM[/tex3]

Seja [tex3]K[/tex3] um ponto exterior ao quadrado tal que sej colinear com [tex3]A,B[/tex3] e [tex3]E,M[/tex3] temos que [tex3]EM=MK[/tex3] e [tex3]BK=EC[/tex3].

Note que pelo enunciado [tex3]AE=EC+BC[/tex3] mas [tex3]EC=BK[/tex3] portanto [tex3]AE=BK+BC[/tex3] note agora que [tex3]AK=AB+BK[/tex3] mas [tex3]AB=BC[/tex3] portanto [tex3]AK=BK+BC[/tex3] e com isto concluímos que [tex3]\Delta EAK[/tex3] é isósceles de maneira que [tex3]MkA=KeA=90-\frac{x}{2}[/tex3].

Aqui entra o problema note que pelo caso LLL os triangulo [tex3]\Delta MAB=\Delta DFA[/tex3].

Fica fácil ver que se [tex3]MkA=90-\frac{x}{2}[/tex3] e [tex3]AmK=90º[/tex3], [tex3]MaB=\frac{x}{2}[/tex3]

Comparando pela congruencia dos triangulo vemos que quem está oposto a [tex3]MB[/tex3] no [tex3]\Delta AMB[/tex3] é [tex3]\frac{x}{2}[/tex3] e quem está oposto a [tex3]DF[/tex3] no [tex3]\Delta ADF[/tex3] é [tex3]a[/tex3] como [tex3]DF=MB[/tex3] então por congruencia:

[tex3]a=\frac{x}{2}[/tex3]
[tex3]x=2a[/tex3]