Maratonas de Matemática ⇒ II Maratona de Matemática FUVEST / UNICAMP

[joaopcarvMOD]

Solução do problema 10

Pela divisão euclidiana [tex3]\rightarrow[/tex3]

[tex3]\mathsf{p_{(x)} \ = \ q_{(x)} \ \cdot \ (x^2 \ + \ 1) \ + \ x^2 \ + \ 1}[/tex3]

Sabendo que o resto dessa divisão é [tex3]\mathsf{x^2 \ + \ 1}[/tex3], então o grau de [tex3]\mathsf{q_{(x)}}[/tex3] é maior do que [tex3]\mathsf{2}[/tex3]. Sendo o grau de um polinômio um número natural, então o grau de [tex3]\mathsf{q_{(x)} \ \geq \ 3.}[/tex3]

Logo, alternativa [tex3]\mathsf{b)}[/tex3] já foi refutada;

Sendo que [tex3]\mathsf{p_{(x)} \ = \ q_{(x)} \ \cdot \ (x^2 \ + \ 1) \ + \ x^2 \ + \ 1}[/tex3] e o grau de [tex3]\mathsf{q_{(x)} \ \geq \ 3}[/tex3], então o grau de [tex3]\mathsf{p_{(x)}}[/tex3] é no mínimo [tex3]\mathsf{5}[/tex3] [tex3]\rightarrow [/tex3]

[tex3]\mathsf{p_{(x)} \ \geq \ \underbrace{\overbrace{(x^3 \ + \alpha \cdot x^2 \ + \beta \ \cdot \ x \ + \ \gamma)}^{grau \ mínimo \ de \ q_{(x)}} \ \cdot \ (x^2 \ + \ 1)}_{o \ grau \ mínimo \ de \ q_{(x)} \ gera \ um \ polinômio \ de \ grau \ 5} \ + \ x^2 \ + \ 1}[/tex3]

Em outras palavras, se o grau de [tex3]\mathsf{q_{(x)} \ \geq \ 3}[/tex3], então o grau de [tex3]\mathsf{p_{(x)} \ \geq \ 5.}[/tex3]

Portanto, alternativa [tex3]\mathsf{a)}[/tex3] é falsa;

Veja que não temos como afirmar o que é [tex3]\mathsf{q_{(x)}}[/tex3], e por isso não sabemos quais serão os conjuntos de suas raízes, e então não podemos afirmar nem refutar [tex3]\mathsf{d).}[/tex3]

Já explicado o raciocínio, podemos enfim ir à alternativa certa [tex3]\rightarrow[/tex3]

Sabendo que [tex3]\mathsf{p_{(x)} \ = \ q_{(x)} \ \cdot \ (x^2 \ + \ 1) \ + \ x^2 \ + \ 1}[/tex3], então podemos reescrever :

[tex3]\mathsf{p_{(x)} \ = \ (x^2 \ + \ 1) \ \cdot \ (q_{(x)} \ + \ 1)}[/tex3], logo [tex3]\mathsf{(x^2 \ + \ 1)}[/tex3] é um fator de [tex3]\mathsf{p_{(x)}.}[/tex3]

Como [tex3]\mathsf{(x^2 \ + \ 1)}[/tex3] é um fator de [tex3]\mathsf{p_{(x)}}[/tex3], as raízes desse polinômio podem ser achadas por :

[tex3]\mathsf{0 \ = \ (x^2 \ + \ 1) \ \cdot \ (q_{(x)} \ + \ 1) \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{(q_{(x)} \ + \ 1) \ = \ 0 \ ou \ (x^2 \ + \ 1) \ = \ 0 \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{x^2 \ = \ -1 \ \ \therefore \ x \ = \ \pm \ i}[/tex3] é raiz de [tex3]\mathsf{p_{(x)}}[/tex3].

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Problema 11

(FUVEST - 2011) A esfera [tex3]\epsilon[/tex3], de centro [tex3]\mathsf{O}[/tex3] e raio [tex3]\mathsf{r \ > \ 0}[/tex3], é tangente ao plano [tex3]\alpha[/tex3]. O plano [tex3]\beta[/tex3] é paralelo a [tex3]\alpha[/tex3] e contém [tex3]\mathsf{O}[/tex3]. Nessas condições, o volume da pirâmide que tem como base um hexágono regular inscrito na intersecção de [tex3]\epsilon[/tex3] com [tex3]\beta[/tex3] e, como vértice,um ponto em [tex3]\alpha[/tex3], é

[tex3]\mathsf{a) \ \dfrac{\sqrt3 \ \cdot \ r^3}{4};}[/tex3]

[tex3]\mathsf{b) \ \dfrac{5 \ \cdot \sqrt3 \ \cdot \ r^3}{16};}[/tex3]

[tex3]\mathsf{c) \ \dfrac{3 \ \cdot \sqrt3 \ \cdot \ r^3}{8};}[/tex3]

[tex3]\mathsf{d) \ \dfrac{7 \ \cdot \sqrt3 \ \cdot \ r^3}{16};}[/tex3]

[tex3]\mathsf{e) \ \dfrac{\sqrt3 \ \cdot \ r^3}{2}}[/tex3]

Resposta

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[tex3]\mathsf{Alternativa \ e)}[/tex3]

[Optmistic]

Solução do problema 11

Olá !

Se a esfera é tancente de [tex3]\alpha [/tex3] , [tex3]\beta[/tex3] é paralelo a [tex3]\alpha [/tex3] e ainda contem O (o centro) significa que temos uma meia esfera, com uma pirâmide dentro ... rascunho abaixo:

Veja que o raio é a mesma medida da altura da pirâmide .

O volume será dado por ...

V = [tex3]\frac{Ab.h}{3}[/tex3]

A altura já sabemos que é a mesma medida do raio = r

Agora vamos calcular a área da base ...

[tex3]Ab=\frac{3a²\sqrt{3}}{2}[/tex3]

como a = r ...

[tex3]Ab=\frac{3r²\sqrt{3}}{2}[/tex3]


agora basta juntar tudo ...

[tex3]V=\frac{Ab.h}{3}[/tex3]

[tex3]V=\frac{\frac{3r^{2}\sqrt{3}}{2}.r}{3}[/tex3]

[tex3]V=\frac{3r^{2}.r.\sqrt{3}}{2.3}[/tex3]

[tex3]V=\frac{3r^{3}.\sqrt{3}}{2.3}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{V=\frac{r^{3}.\sqrt{3}}{2}}}[/tex3]

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Problema 12 (Unicamp - 2014)

Considere a matriz :

[tex3]\begin{pmatrix}
1 & a & 1 \\
b & 1 & a \\
1 & b & 1 \\
\end{pmatrix}[/tex3]

onde a e b são reais e distintos.

Podemos afirmar que :

a) A matriz não é invertível
b) O determinante = a² - b²
c) A matriz é igual à sua transporta
d) O seu determinante é positivo

Resposta

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d)

[snooplammer]

Solução do problema 12

[tex3]\left| \begin{array}{rcr}
1 & a &1 \\
b & 1 & a\\
1 & b & 1
\end{array} \right|=a^2-2ab+b^2[/tex3]

[tex3]a^2-2ab+b^2=(a-b)^2[/tex3]

O determinante será positivo pois [tex3]a\neq b[/tex3] logo [tex3](a-b)^2[/tex3] nunca irá zerar. E todo [tex3]x \in \mathbb{R} \, \wedge x\neq 0 [/tex3] elevado a expoente par é positivo

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Problema 13 (Fuvest - 2014)

Um corpo de massa [tex3]M[/tex3] desliza sem atrito, sujeito a uma força gravitacional vertical uniforme, sobre um “escorregador logarítmico”: suas coordenadas [tex3](x, y)[/tex3] no plano cartesiano, que representam distâncias medidas em metros, pertencem ao gráfico da função.

fontefuvest.png (22.95 KiB) Exibido 7347 vezes

[tex3]f_{(x)} = \log_{\frac{1}{2}} x + 4[/tex3]

O corpo começa sua trajetória, em repouso, no ponto [tex3]A[/tex3], de abcissa [tex3]x = 1[/tex3], e atinge o chão no ponto [tex3]B[/tex3], de ordenada [tex3]y = 0[/tex3], conforme a figura ao lado. Não levando em contas dimensões do corpo e adotando [tex3]10 \dfrac{m}{s^2}[/tex3] como o valor da aceleração da gravidade,
[tex3]a)[/tex3] encontre a abcissa do ponto [tex3]B[/tex3];
[tex3]b)[/tex3] escreva uma expressão para a energia mecânica do corpo em termos de sua massa [tex3]M[/tex3], e de sua altura [tex3]y[/tex3] e de sua velocidade escalar [tex3]v[/tex3];
[tex3]c)[/tex3] encontre a abcissa do ponto a partir do qual [tex3]v[/tex3] é maior do que [tex3]\sqrt{60} \ \dfrac{m}{s}[/tex3]

Resposta

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[tex3]a) \ 16; \\
b)\ M\cdot\bigg(g\cdot y \ + \ \dfrac{v^2}{2}\bigg); \\
c) \ x \ > \ 8.[/tex3]

[joaopcarvMOD]

Solução do problema 13

[tex3]\mathsf{a)}[/tex3] Ponto [tex3]\mathsf{B\ \rightarrow \ y_b \ = \ 0 \ :}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\cancelto{0}{f_{(x)}} \ = \ \log_{\frac{1}{2}} x_b \ + \ 4 \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{-4 \ = \ \log_{\frac{1}{2} x_b} \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^{-4} \ = \ x_b \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{x_b \ = \ 16}}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{b) \ E_m \ = \ E_{pg} \ + \ E_c \ + \ E_{el}}[/tex3]

Sendo que a energia mecânica [tex3]\mathsf{E_m}[/tex3] é a soma da potencial gravitacional [tex3]\mathsf{E_{pg}}[/tex3] com a cinética [tex3]\mathsf{E_c}[/tex3] e com a [tex3]\mathsf{E_{el}}[/tex3], e que a última não se apresenta no sistema, temos :

[tex3]\mathsf{E_m\ = \ E_{pg} \ + \ E_c \ + \ \cancelto{0}{E_{el}} \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{E_m \ = \ M \ \cdot \ g \ \cdot \cancelto{y}{\Delta H} \ + \ \dfrac{M \ \cdot \ v^2}{2} \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{E_m \ = \ M \ \cdot \ \bigg(g \ \cdot \ y \ + \ \dfrac{v^2}{2}\bigg)}}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{c)}[/tex3] A energia mecânica do sistema se conserva... sendo a inicial no ponto [tex3]\mathsf{A}[/tex3], em que a velocidade é nula (partindo do repouso) e [tex3]\mathsf{x_a \ = \ 1.}[/tex3]

O ponto [tex3]\mathsf{P_{(x_p, \ y_p)}}[/tex3] é o que tem velocidade [tex3]\mathsf{v \ = \ \sqrt{60} \ \dfrac{m}{s}} \ \rightarrow[/tex3]

[tex3]\mathsf{\not{M} \ \cdot \ \bigg(g \ \cdot \ y_a \ + \ \dfrac{\cancelto{0}{v^2}}{2}\bigg) \ = \ \not{M} \ \cdot \ \bigg(g \ \cdot \ y_p \ + \ \dfrac{(\sqrt{60})^2}{2}\bigg) \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{10 \ \cdot \ \bigg(\cancelto{0}{\log_{\frac{1}{2}} \ \cancelto{1}{x_a}} \ + \ 4\bigg) \ = \ 10 \ \cdot \ \bigg(\log_{\frac{1}{2}} x_p \ + \ 4\bigg) \ + \ 30 \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{-3 \ = \ \log_{\frac{1}{2}} x_p \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\boxed{\mathsf{x_p \ = \ 8}}[/tex3]

Então, para abcissas maiores do que [tex3]\mathsf{x_p \ = \ 8}[/tex3], como o logartimo tem base no intervalo [tex3]\mathsf{]0,1[}[/tex3] e a energia mecânica é constante, a velocidade aumenta.

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Problema 14

(FUVEST - 1983) Num plano são dados dois círculos cujas circunferências têm raio igual a [tex3]\mathsf{1}[/tex3]. A distância entre os centros é também igual a [tex3]\mathsf{1}[/tex3]. Calcule a área da intersecção dos dois círculos.

Resposta

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[tex3]\mathsf{A \ = \ \dfrac{4\cdot \pi \ - \ 3\cdot \sqrt{3}}{6}}[/tex3]

[Auto Excluído (ID:20809)]

Solução do problema 14

FUVEST 1983.png (21.9 KiB) Exibido 7168 vezes

A área da intersecção dos dois círculos será dada por 2 x [tex3](A_{\text{setor circular}} - A_{\Delta EO_1F})[/tex3]

1) [tex3]\angle EO_1F = 120º[/tex3], pois

[tex3]\Delta EO_1O_2[/tex3], assim como o [tex3]\Delta FO_1O_2[/tex3], é equilátero

2) [tex3]A_{\text{setor circular}} = \frac{\pi}{3}[/tex3]

3) [tex3]A_{\Delta EO_1F} = \frac{1\cdot 1\cdot \text{sen(120º)}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}[/tex3]


Logo, [tex3]\mathsf{A \ = \ \dfrac{4\cdot \pi \ - \ 3\cdot \sqrt{3}}{6}}[/tex3]

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Problema 15 Unicamp-1998

a) De quantas maneiras é possível distribuir 20 bolas iguais entre 3 crianças de modo que cada uma delas receba, pelo menos, 5 bolas?
b) Supondo que essa distribuição seja aleatória, qual a probabilidade de uma delas receber exatamente 9 bolas ?

GABARITO

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a) 21 maneiras

b) \frac{2}{7}

[joaopcarvMOD]

Solução do problema 15

Vamos pensar nas ternas [tex3]\mathsf{x \ + \ y + \ z \ = \ 20}[/tex3] tais que [tex3]\mathsf{x, \ y, \ z \ \in \ \mathbb{N}; \ x, \ y, \ z \ \geq 5}[/tex3]

Começando com os casos com [tex3]\mathsf{5:}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\bullet \ (5, \ 5, \ 10) \ \Rightarrow \ P^{^2}_{_{3}} \ \therefore \ \dfrac{3!}{2!} \ = \ 3 \ casos}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\circ \ (5, \ 6, \ 9) \ \Rightarrow \ P_{_{3}} \ \therefore \ 3! \ = \ 6 \ casos}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\bullet \ (5, \ 7, \ 8) \ \Rightarrow \ P_{_{3}} \ \therefore \ 3! \ = \ 6 \ casos}[/tex3]

Como acabaram os casos com [tex3]\mathsf{5}[/tex3], só teremos mais duas distribuições possíveis:

[tex3]\mathsf{\bullet \ (6, \ 6, \ 8) \ \Rightarrow \ P^{^2}_{_{3}} \ \therefore \ \dfrac{3!}{2!} \ = \ 3 \ casos}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\bullet \ (6, \ 7, \ 7) \ \Rightarrow \ P^{^2}_{_{3}} \ \therefore \ \dfrac{3!}{2!} \ = \ 3 \ casos}[/tex3]

No total, temos [tex3]\mathsf{3 \ + \ 6 \ + \ 6 \ + \ 3 \ + \ 3 \ = \ \boxed{\boxed{\mathsf{21\ casos}}}}[/tex3]

E os casos que contém [tex3]\mathsf{9}[/tex3] bolinhas estão marcados com [tex3]\circ[/tex3], ou seja, são eles [tex3]\mathsf{6}[/tex3].

A probabilidade pedida é [tex3]\mathsf{\dfrac{6}{21} \ = \ \boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{2}{7}}}}}[/tex3]

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Problema 16

(Fuvest - 2018) Considere o polinômio [tex3]\mathsf{P_{(x)} \ = \ x^n \ + \ a_{_{n \ - \ 1}} \cdot x^{n \ - \ 1} \ + \ \dots \ + \ a_{_{1}} \cdot x \ + \ a_{_{0}}},[/tex3] em que [tex3]\mathsf{a_{_{0}}, \dots, \ a_{_{n \ - \ 1}} \ \in \ \mathbb{R}.}[/tex3] Sabe-se que as suas [tex3]\mathsf{n}[/tex3] raízes estão sobre a circunferência unitária unitária e que [tex3]\mathsf{a_{_{0}} \ < \ 0.}[/tex3]

O produto das [tex3]\mathsf{n}[/tex3] raízes de [tex3]\mathsf{P_{(x)},}[/tex3] para qualquer inteiro [tex3]\mathsf{n \ \geq \ 1,}[/tex3] é:

[tex3]\mathsf{a) \ -1}[/tex3]
[tex3]\mathsf{b) \ i^n}[/tex3]
[tex3]\mathsf{c) \ i^{n \ + \ 1}}[/tex3]
[tex3]\mathsf{d) \ (-1)^n}[/tex3]
[tex3]\mathsf{e) \ (-1)^{n \ + \ 1}}[/tex3]

Resposta

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Alternativa [tex3]\mathsf{e)}[/tex3]