O procedimento básico é o seguinte:
[tex3]\bullet[/tex3] Quando uma certa quantidade de átomo ou íon é oxidada ou reduzida, enquanto outra quantidade desse mesmo átomo ou íon reage sem sofrer mudança de nox, o processo é um pouco diferente. Na reação proposta pelo enunciado, certa quantidade de cloro reage sofrendo oxidação e outra não possui variação em seu nox.
Para facilitar os cálculos, é interessante que a equação química seja escrita da seguinte forma:

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O primeiro passo para balancear a equação é calcular o nox de cada átomo/íon participante, determinando qual sofreu oxidação e qual sofreu redução e, dessa forma, qual a substância que atua como redutor e qual atua como oxidante.
[tex3]\bullet[/tex3] O número de elétrons perdidos é igual à variação do nox (
[tex3]\Delta[/tex3]) do átomo/íon que sofreu oxidação multiplicado pelo número (x) de vezes que esse átomo ou íon aparece na fórmula da substância redutora.
substância redutora:
[tex3]\mathsf{\underbrace{\text{HCl}_{}}_{\text{parte que} \\ \text{sofre oxidação}} }\rightarrow \ \ \ \text{Cl}_2[/tex3]
perdeu 1 elétron
[tex3]\therefore [/tex3] [tex3]\Delta = 1[/tex3]
1 átomo de cloro
[tex3]\therefore [/tex3] x = 1
[tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\Delta \cdot \text{x} = 1[/tex3] elétron perdido
Da mesma forma, calculamos o número de elétrons que foram ganhos sabendo que ele é igual à variação do nox (
[tex3]\Delta [/tex3]) do átomo/íon que sofreu redução multiplicado pelo número (x) de vezes que esse átomo ou íon aparece na fórmula da substância oxidante
substância oxidante:
[tex3]\text{KMnO}_4 \rightarrow \text{MnCl}_2[/tex3]
ganhou 5 elétrons
[tex3]\therefore [/tex3] [tex3]\Delta = 5[/tex3]
1 átomo de manganês
[tex3]\therefore [/tex3] x = 1
[tex3]\Rightarrow[/tex3] [tex3]\Delta \cdot \text{x} = 5[/tex3] elétrons ganhos
[tex3]\bullet[/tex3] Para igualar o número de elétrons perdidos com o número de elétrons ganhos, fazemos:
- o coeficiente da substância redutora igual ao número de elétrons ganhos: 5
[tex3]\text{HCl} [/tex3]
- o coeficiente da substância oxidante igual ao número de elétrons perdidos: 1
[tex3]\text{KMnO}_4 [/tex3]
Dessa forma, chegamos em:
[tex3]\text{1KMnO}_{4(aq)}[/tex3] [tex3]+ \mathsf{\underbrace{5\text{HCl}_{(aq)}}_{\text{parte que} \\ \text{sofre oxidação}} } + \mathsf{\underbrace{\text{HCl}_{(aq)}}_{\text{parte que o } \\ \text{nox não varia}} } \rightarrow 1\text{KCl}_{(aq)} + 1\text{MnCl}_{2(aq)} + \text{H}_2\text{O}_{(l)} + \text{Cl}_{2(g)}[/tex3]
O coeficiente da parte do HCl em que o cloro sofreu oxidação é 5, portanto 5 átomos de cloro efetivamente sofreram oxidação. Como o produto desses 5 átomos de cloro é o gás cloro,
[tex3]Cl_2[/tex3], o coeficiente do
[tex3]Cl_2[/tex3] deve ser igual a 5/2 (para que o total de átomos de cloro oxidados seja o mesmo nos dois membros da equação).
[tex3]\text{1KMnO}_{4(aq)}[/tex3] [tex3]+ \mathsf{\underbrace{5\text{HCl}_{(aq)}}_{\text{parte que} \\ \text{sofre oxidação}} } + \mathsf{\underbrace{\text{HCl}_{(aq)}}_{\text{parte que o } \\ \text{nox não varia}} } \rightarrow 1\text{KCl}_{(aq)} + 1\text{MnCl}_{2(aq)} + \text{H}_2\text{O}_{(l)} + 5/2\text{Cl}_{2(g)}[/tex3]
[tex3]\bullet[/tex3] Balanceando, por tentativa, o O/HCl em que o nox não varia e multiplicado a equação por 2 (números inteiros), chegamos em:
[tex3]\text{2KMnO}_{4(aq)} + 10\text{HCl}_{(aq)} + 6\text{HCl}_{(aq)} \rightarrow 2\text{KCl}_{(aq)} + 2\text{MnCl}_{2(aq)} + 8\text{H}_2\text{O}_{(l)} + 5\text{Cl}_{2(g)}[/tex3]
Existem algumas maneiras de se pensar esse problema, essa é uma delas.