IME / ITA ⇒ (IME - 2007) Geometria Espacial: Sólidos de Revolução Tópico resolvido

[Yuri]

Sejam C e [tex3]C^*[/tex3] dois circulos tangentes exteriores de raios r e [tex3]r^*[/tex3] e centros O e [tex3]O^*[/tex3],respectivamente, e seja t uma reta tangente comum a C e [tex3]C^*[/tex3] nos pontos não coincidentes A e [tex3]A^*[/tex3].Considere o sólido de revolução gerado apartir da rotação do segmento [tex3]AA^*[/tex3] em torno do eixo [tex3]OO^*[/tex3] e seja S a sua correspondente área lateral.Determine S em função de r e [tex3]r^*[/tex3].

[Daniel Hartmann]

Olá Yuri. Eu montei uma figura ilustrativa para o problema (eu usei letras minúsculas para a o círculo menor e letras maiúsculas para o círculo maior):

14_tronco_de_cone_1_1.jpg (10.09 KiB) Exibido 411 vezes

Se efetuarmos a rotação do segmento [tex3]\overline{Aa}[/tex3] em torno do eixo [tex3]\overline{Oo}[/tex3] teremos um tronco de cone. Eu não me lembro muito bem da demonstração da fórmula, mas para um tronco de cone a área lateral é expressa por:

[tex3]A_\ell = (\pi.R + \pi.r).g_t[/tex3],

onde [tex3]R[/tex3] é o raio da base maior, [tex3]r[/tex3] é o raio da base menor e [tex3]g_t[/tex3] é a geratriz do tronco. Portanto, só nos falta encontrar o valor de [tex3]g_t[/tex3]. Pela figura acima, notamos que a secção desse tronco forma um trapézio. Para encontrar e geratriz do tronco então, basta fazermos "um Pitágoras", sendo [tex3]g_t[/tex3] a hipotenusa e [tex3](R - r)[/tex3] e [tex3](R + r)[/tex3] os catetos (note que [tex3](R + r)[/tex3] é a altura do tronco):

[tex3](g_t)^2 = (R - r)^2 + (R + r)^2[/tex3]

[tex3](g_t)^2 = R^2 - 2Rr + r^2 + R^2 + 2Rr + r^2[/tex3]

[tex3](g_t)^2 = 2(R^2 + r^2)[/tex3]

[tex3]g_t = \sqrt{2(R^2 + r^2)}[/tex3]

Agora que já encontramos o valor de [tex3]g_t[/tex3] podemos subsitui-lo na fórmula da área lateral:

[tex3]A_\ell = (\pi.R + \pi.r).g_t[/tex3]

[tex3]A_\ell = (\pi.R + \pi.r).\sqrt{2(R^2 + r^2)}[/tex3]

Acredito eu que esta seja a resposta final.

Até mais!

[Auto Excluído (ID: 23699)]

A solução acima está com o Pitágoras feito errado

Segue a solução do Etapa

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