Pré-Vestibular ⇒ (UFMG - 1995) Geometria Plana: Área Do Círculo e suas Partes

[rapduck]

Observe a figura a seguir.

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Nessa figura, [tex3]\overline{OA}=4\sqrt{3},[/tex3] [tex3]\overline{OB}=2\sqrt{3}[/tex3] e [tex3]AB[/tex3] e [tex3]AC[/tex3] tangenciam a circunferência de centro [tex3]O[/tex3] em [tex3]B[/tex3] e [tex3]C.[/tex3]
A área da região hachurada é:

a) [tex3]\pi - 3[/tex3]
b) [tex3]2\pi-\sqrt{3}[/tex3]
c) [tex3]4\pi-3\sqrt{3}[/tex3]
d) [tex3]4\pi-2\sqrt{3}[/tex3]
e) [tex3]4\pi-\sqrt{3}[/tex3]

Resposta:

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c

[adrianotavares]

Olá, rapduck.

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  AD39.png (6.99 KiB) Exibido 4705 vezes

Como a reta tangente à circuferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência, concluímos que o ângulo [tex3]O\widehat{B}A=90^\circ[/tex3]

Do [tex3]\triangle OBA[/tex3] obtemos:

• [tex3]\cos A\widehat{O}B = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}= \frac{1}{2}[/tex3]
  [tex3]O\widehat{A}B=\frac{\pi}{3}\text{ rad}[/tex3]

Logo, como os triângulos [tex3]AOB[/tex3] e [tex3]AOC[/tex3] são congruentes, [tex3]B\widehat{O}C=2\cdot \frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\text{ rad}.[/tex3]

A área do segmento circular determinado pela corda [tex3]BC[/tex3] é dada por

• [tex3]\frac{\overline{OB}^2}{2}\cdot (B\widehat{O}C -\text{sen}B\widehat{O}C)=\frac{(2\sqrt{3})^2}{2}\cdot \left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=4\pi -3\sqrt{3}[/tex3]

Alternativa: c