IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 2018) Equação Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Quantas raízes reais possui a equação [tex3]2cos(x - 1) = 2x^4 - 8x^3 + 9x^2 -2x + 1[/tex3] ?

(A) [tex3]0[/tex3].
(B) [tex3]1[/tex3].
(C) [tex3]2[/tex3].
(D) [tex3]3[/tex3].
(E) Infinitas.

Resposta

---

Gab.: D

[mcarvalho]

Boa tarde.

É razoável supor que [tex3]2x^4 - 8x^3 + 9x^2 -2x + 1\le |2|[/tex3]

No primeiro caso: [tex3]2x^4 - 8x^3 + 9x^2 -2x + 1\le 2\\2x^4-8x^3+9x^2-2x-1\le 0[/tex3]

Por inspeção, 1 é raiz. Reduzindo o polinômio obtemos raízes [tex3]\frac{2\pm \sqrt{6}}{2}[/tex3].

No segundo caso: [tex3]2x^4 - 8x^3 + 9x^2 -2x + 1\ge -2\\2x^4-8x^3+9x^2-2x+3\le 0[/tex3]

Usando o computador, não encontro nenhuma raiz real.

Claro que por eliminação você já chega na letra D), afinal, não existiram infinitas raízes reais, nesse caso, eu acho.

Se alguém tiver uma solução mais romântica (especialmente para o segundo passo), eu apreciaria.

[petrasMOD]

mcarvalho,

Encontrei esta solução
[tex3]\mathsf{2cos(x-1) = 2x^4 - 8x^3 + 9x^2 - 2x + 1\\
g(x)=2cos(x-1)  \\
g(x)máx =2\\
g(x)mín=-2\\
f(x)= 2x^4 - 8x^3 + 9x^2 - 2x + 1\\
f'(x)=8x^3-24x^2+18x-2=0\\
\text{por observação x =1 é uma raiz, diminuindo um grau f'(x) , utilizando Ruffini}:\\
 8x^2-16x+2=0 \implies x''=1-\frac{\sqrt{3}}{2}, x'''=1+\frac{\sqrt{3}}{2}\\

f''(x)=24x^2-48x+18\\

f''(1)=24x^2-48x+18 < 0  \rightarrow ponto ~de~ máximo\\

f''(1-\frac{\sqrt{3}}{2})=24*(1-\frac{\sqrt{3}}{2})^2-48*(1-\frac{\sqrt{3}}{2})+18 > 0 \rightarrow ponto ~de~ mínimo\\

f''(1+\frac{\sqrt{3}}{2})=24*(1+\frac{\sqrt{3}}{2})^2-48*(1+\frac{\sqrt{3}}{2})+18 > 0 \rightarrow ponto~ de~ mínimo\\

\text{Pontos críticos de f(x)} \rightarrow (1,2) ; [(1-√3/2) , 7/8] ; [(1+√3/2) , 7/8]  \\

lim f'(x) \rightarrow -∞ < 0 \rightarrow decrescente (-∞ , (1-√3/2)\\

lim f'(x) \rightarrow +∞ > 0 \rightarrow >crescente ((1+√3/2) , ∞)\\

g(1-√3/2)>f(1-√3/2)  , g(1+√3/2) > f(1+√3/2) ~e~ g(1)=f(1)\\

\text{As curvas g(x) e f(x) se encontram em três pontos , portanto,

são 3 raízes Reais}}[/tex3]
Fonte( Brainly.com.br - https://brainly.com.br/tarefa/24863399)

[mcarvalho]

@petrasMOD, bacana, obrigado! Bem mais completo.

Depois eu percebi que cometi um erro na resolução, afinal fiz uma análise das raízes e não dos intervalos - acho que, por coincidência, deu certo.

De qualquer forma eu não estava esperando que a resolução usasse cálculo, se bem que é costume da Escola Naval cobrar, enfim.