Pré-Vestibular ⇒ (UNEB) Função quadrática

[danimedrado]

Considere a função dada por f(x)=x²+mx-m. Os valores de m, para os quais o número 3 está compreendido entre as duas raízes reais da função, são tais que:
01) m>0 ou m<-4.
02) -4<m<-[tex3]\frac{9}{2}[/tex3].
03) m<-4.
04) m>4.
05) m<-[tex3]\frac{9}{2}[/tex3].

Resposta

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05

Alguém poderia me auxiliar nessa questão?

[paulo testoniMOD]

Hola.

[tex3]\Delta = m^2 + 4m[/tex3]

[tex3]\frac{-m\pm \sqrt\Delta }{2}>3\\
-m \pm \sqrt{m^2 + 4m}>6\\
\pm \sqrt{m^2+4m}>6+m[/tex3]
Eleve ambos os lados ao quadrado, fica:
[tex3]m^2 + 4m > 36 + 12m +m^2\\
4m -12m >36\\
-8m>36[/tex3]
Multiplique por -1, fica:
[tex3]8m<-36\\
m<\frac{-36}{8}\\
m<-\frac{9}{2}[/tex3]

[Killin]

Eu não entendi muito bem a ideia do Paulo, mas uma forma de enxergar o problema seria impor o delta maior que zero para que haja duas raízes reais e depois impor que f(3) < 0 já que o ''a'' é maior que zero, e assim teríamos o número 3 entre as raízes.

[danimedrado]

Paulo, desculpe, mas não consegui compreender muito bem sua resolução. O certo não seria colocar o 3 entre as duas raízes? Assim: [tex3]\frac{-m-\sqrt{m^{2}+4m}}{2}[/tex3]<3<[tex3]\frac{-m+\sqrt{m^{2}+4m}}{2}[/tex3].

[PedroCosta]

A ideia do Killin é mais clara. Vou desenvolvê-la abaixo:
Para que o número 3 esteja compreendido entre duas raízes de [tex3]f(x)=x^2+mx-m[/tex3], nós precisamos ter o valor do discriminante maior do que zero:
[tex3]\Delta = m^2-4\cdot1\cdot(-m) = m^2+4m\\
m^2+4m > 0 \\
\boxed{m<-4 \vee m > 0} [/tex3]
Por sinal, uma das opções de resposta. Mas não é a única condição necessária para que o número 3 esteja compreendido. O que encontramos é somente valores que retornam duas raízes reais e distintas. Vamos impor agora que f(3) < 0:
[tex3]f(3) = 3^2+m\cdot 3 - m =9+2m\\
f(3) < 0 \Longrightarrow 9+2m<0 \Leftrightarrow m < -\frac{2}{9}[/tex3]

[danimedrado]

Gente, não consegui entender o f(3)<0!

[Killin]

Gente, não consegui entender o f(3)<0!

Perceba que a concavidade da parábola é voltada para cima e ela intercepta o eixo das abcissas em dois pontos, o que foi imposto na primeira condição, como os valores da função entre essas interceptações são negativos, basta impormos f(3) < 0 para que o número 3 esteja entre essas raízes.