Pré-Vestibular ⇒ (UFRJ - 2004) Progressão Aritmética

[Jbnlima]

Felipe começa e escrever números naturais numa folha de papel muito grande, uma linha após a outra como mostrado a seguir:

• [tex3]\begin{array}{cccccccccc}
  1& & & & & & & & & & & \\
  2& 3& 4& & & & & & & & & \\
  3&4 &5 &6 &7 & & & & & & & \\
  4&5 &6 &7 &8 & 9& 10& & & & & \\
  5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12& 13& & & \\
  6& 7& 8& 9& 10& 11& 12& 13& 14& 15& 16& \\
  \end{array}[/tex3]
  [tex3]\ldots[/tex3]

Considerando que Felipe mantenha o padrão adotado em todas as linhas:

a) Determine quantos números naturais ele escreverá na [tex3]50[/tex3] ª linha;
b) Determine a soma de todos os números escritos na [tex3]50[/tex3] ª linha;
c) Prove que a soma de todos os elementos de uma linha é sempre o quadrado de número ímpar.

[Colatino]

a) [tex3]a_1=1,\text{ }n=50[/tex3] e [tex3]r=2[/tex3]

• [tex3]a_n=a_1+(n-1)r[/tex3]
  
  [tex3]a_{50}=1+(50-1)\cdot 2 =1+49\cdot 2 =99[/tex3]

[Natan]

a) Na primeira linha temos [tex3]1[/tex3] elemento, na segunda [tex3]3[/tex3] elementos, na terceira [tex3]5[/tex3] elementos, e assim sucessivamente.

A quantidade de números em cada linha constitui uma PA crescente, cujo primeiro termo é [tex3]1[/tex3] e cuja razão é [tex3]2.[/tex3] Portanto, queremos calcular [tex3]a_{50}.[/tex3]

• [tex3]a_{50}=1+49\cdot 2=99[/tex3]