Ensino Superior ⇒ Cálculo de áreas utilizando integrais Tópico resolvido

[marciliomoura]

Como calculo a área da região delimitada pelas funções y=3([tex3]x^{3}-x[/tex3]) e y=0?

[erihh3]

Podemos reescrever a equação assim:

[tex3]y=3.x.(x^{2}-1)[/tex3]

Dessa expressão, fica fácil ver que quando x tende a infinito, y também tende a infinito. Além disso, quando x tende a -infinito, y tenderá, também a -infinito.

A conclusão é que a área pedida está entre as raízes do polinômio, haja vista que ele é contínuo.

Já que y=0 representa o próprio eixo x, temos que as raízes são -1, 0 e 1.

Podemos perceber, além disso, que y é uma função ímpar, uma vez que f(-x)=-f(x). Verifique isso!

Então, a área pedida em um intervalo simétrico seria 0. Mas, como estamos falando da areá absoluta deles, basta aplicar o módulo e perceber que a função é positiva para [tex3]x\in(-1,0)[/tex3] e negativa para [tex3]x\in(0,1)[/tex3]

Portanto, a área pedida será:

[tex3]A_1=\int_{0}^{1}|y|.dx[/tex3]

[tex3]A_1=\int_{0}^{1}-3.(x^{3}-x).dx[/tex3]

[tex3]A_1=-3.\int_{0}^{1}(x^{3}-x).dx[/tex3]

[tex3]A_1=-3.\left(\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^2}{2}\right)|_{0}^1[/tex3]

[tex3]A_1=\frac{3}{4}[/tex3]

Para [tex3]A_2[/tex3], já que vimos que a função é ímpar. As áreas serão iguais em módulo. Então, [tex3]A_2=A_1=\frac{3}{4}[/tex3]

Daí,

[tex3]A=A_1+A_2[/tex3]

[tex3]A=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{3}{2}[/tex3]