IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1989) Sistemas Não Lineares Tópico resolvido

[Thadeu]

Resolvendo-se o sistema [tex3]\begin{cases}\sqrt{x}yz=\frac{8}{3}\\x\sqrt{y}z=\frac{4\,\sqrt{2}}{3}\\xy\sqrt{z}=\frac{16\,\sqrt{2}}{27} \end{cases}\text{ },[/tex3] tem-se que [tex3]\frac{x+y+z}{x\cdot y\cdot z}[/tex3] é igual a:

[tex3]\text{a) }\frac{21}{4}\\\text{b) }\frac{35}{8}\\\text{c) }\frac{35}{16}\\\text{d) }\frac{105}{16}\\\text{e) }\frac{105}{32}[/tex3]

[triplebig]

Multiplicando todas as equações:

• [tex3](xyz)^2\cdot\sqrt{xyz} = 2^{10}\cdot3^{-5}[/tex3]
  
  [tex3](xyz)^4\cdot xyz = 2^{20}\cdot3^{-10}[/tex3]
  
  [tex3](xyz)^5 = 2^{20}\cdot3^{-10} \Longrightarrow \boxed{xyz = \frac{16}{9}} \text{ }(i)[/tex3]

Dividindo a primeira equação pela segunda:

• [tex3]\Large\frac{\sqrt{x}\cdot y}{x\cdot\sqrt{y}}\large = \sqrt{2} \Longrightarrow \Large\frac{x\cdot y^2}{x^2\cdot y}\large = 2\Longrightarrow y\text{ = }2x[/tex3]

Dividindo a primeira equação pela terceira:

• [tex3]\Large\frac{\sqrt{x}\cdot z}{x\cdot\sqrt{z}}\large = 9\Large\frac{\sqrt{2}}{4} \Longrightarrow \Large\frac{z}{x}\large = \Large\frac{81}{8}\large \Longrightarrow z = \Large\frac{81}{8}\large x[/tex3]

Substituindo agora em [tex3](i):[/tex3]

• [tex3]x\cdot2x\cdot\Large\frac{81}{8}\large x = 2^4\cdot3^{-2} \Longrightarrow x^3 = \Large\frac{2^6}{3^6}\large \Longrightarrow x = \Large\frac{4}{9}[/tex3]

Agora voltando nas equações originais facilmente achamos os outros. Vou pular um passo e somar logo eles.

• [tex3]x+y+z = x+2x+\Large\frac{81}{8}\large x = \Large\frac{105}{8}\large x =\Large\frac{105}{8}\large \cdot\frac{4}{9} \Longrightarrow \boxed{x+y+z =\frac{35}{6}}\text{ }(ii)[/tex3]

• [tex3]\frac{x+y+z}{xyz}=\frac{105}{32}[/tex3]

Letra (e).

[fabit]

Multiplicando todas:

• [tex3]x^{1+1+0,5}y^{1+1+0,5}z^{1+1+0,5}=\frac{8}{3}\times\frac{4\sqrt{2}}{3}\times\frac{16\sqrt{2}}{27}[/tex3]
  
  [tex3]\Rightarrow\(xyz\)^{2,5}=\frac{2^{10}}{3^5}\Rightarrow xyz=\sqrt[5]{\frac{2^{20}}{3^{10}}}\Rightarrow xyz=\frac{16}{9}[/tex3]

Agora, elevando as equações ao quadrado, temos:

• [tex3]\begin{cases}xy^2z^2=\frac{64}{9}\\x^2yz^2=\frac{32}{9}\\x^2y^2z=\frac{512}{729} \end{cases}[/tex3]

Dividindo-as pela que tem [tex3]xyz,[/tex3] fica

• [tex3]\begin{cases}yz=\frac{64}{9}\times\frac{9}{16}=4 \\ xz=\frac{32}{9}\times\frac{9}{16}=2 \\ xy=\frac{512}{729}\times\frac{9}{16}=\frac{32}{81} \end{cases}[/tex3]

Finalmente, o que se pede,

• [tex3]\frac{x+y+z}{xyz}=\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{81}{32}=\frac{8+16+81}{32}=\frac{105}{32}[/tex3]

Letra (e).