Pré-Vestibular ⇒ (UNIRIO - 2004) Progressão Aritmética

[Jbnlima]

Passando em uma sala de aula, um aluno verificou que, no quadro-negro, o professor havia escrito os números naturais ímpares da seguinte maneira:

• [tex3]\begin{array}{lllll}
  1& & & &\\
  3& 5& & &\\
  7& 9& 11& &\\
  13& 15& 17& 19&\\
  21& 23& 25& 27&29
  \end{array}[/tex3]

O aluno achou interessante e continuou a escrever, até a décima linha. Somando os elementos dessa linha, ele encontrou

[tex3]\text{a) 800 b) 900 c) 1000 d) 1100 e) 1200}[/tex3]

Resposta:

---

c

[adrianotavares]

Olá,Jbnlima.

Vamos calcular quantos números ímpares existem da primeira à décima linha:

• [tex3]S_n = \frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}[/tex3]
  [tex3]S_{10} = \frac{(1+10)\cdot 10}{2}[/tex3]
  [tex3]S = 55[/tex3]

Sabendo que há [tex3]55[/tex3] números ímpares, vamos calcular o [tex3]55^\circ .[/tex3]

• [tex3]r = 2 \text{ e } a_1 =1[/tex3]
  [tex3]a_{55} = a_1+(n-1)\cdot r[/tex3]
  [tex3]a_{55} = 1+54\cdot 2[/tex3]
  [tex3]a_{55} = 109[/tex3]

Devemos calcular o primeiro número da décima linha.

• [tex3]a_n = a_1+ (n-1)\cdot r[/tex3]
  [tex3]109= a_1+9\cdot 2[/tex3]
  [tex3]a_1 =91[/tex3]

Portanto, a soma dos números da décima linha é:

• [tex3]S_{10} = \frac{(109+91)\cdot 10}{2}[/tex3]
  [tex3]S_{10} = \frac{200\cdot 10}{2}[/tex3]
  [tex3]S_{10} = 1000[/tex3]