Ensino Superior ⇒ (Cálculo integral II) Máximo ou Mínimo Local Tópico resolvido

[CabeçãoMG]

A função [tex3]f(x,y) =\frac{1}{3}x^3 + \frac{4}{3}y^3-x^2-3x-4y-3[/tex3], possui:

a) um máximo local no ponto (3,-1)
b) um mínimo local no ponto (-1,-1)
c) um mínimo local no ponto (-1,1)
d) um ponto de sela em (3,1)
e) um máximo local no ponto (-1,-1)

[CabeçãoMG]

alguém pode me salvar?

[undefinied3]

Utilizando o critério da Hessiana:

[tex3]\nabla f(x,y)=(x^2-2x-3, \ 4y^2-4)=(0,0)[/tex3]
Daí, os pontos críticos são (3,1), (3,-1), (-1,1), (-1,-1)

A Hessiana é dada por:
[tex3]\begin{vmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
\end{vmatrix}[/tex3]

A função é polinomial, portanto claramente é de classe [tex3]C^2[/tex3], valendo o teorema de Schwarz. Portanto:
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=2x-2[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=8y[/tex3]
[tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=0[/tex3]

Para o ponto (3,1):
[tex3]\begin{vmatrix}
4 & 0\\
0 & 8
\end{vmatrix}=32>0[/tex3], então é um ponto de máximo ou de mínimo. Analisando [tex3]\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=2x-2[/tex3], temos que a função no ponto vale 4, ou seja, é positivo. Portanto, trata-se de um ponto de mínimo.

Para o ponto (3,-1):
[tex3]\begin{vmatrix}
4 & 0\\
0 & -8
\end{vmatrix}=-32<0[/tex3], então é um ponto de sela.

Para o ponto (-1,1):
[tex3]\begin{vmatrix}
-4 & 0\\
0 & 8
\end{vmatrix}=-32<0[/tex3], então é um ponto de sela.

Para o ponto (-1,-1):
[tex3]\begin{vmatrix}
-4 & 0\\
0 & -8
\end{vmatrix}=32>0[/tex3], então é um máximo ou mínimo. A segunda derivada parcial em relação a x é -4, ou seja, negativa. Portanto, um ponto de máximo.

Portanto, (3,-1) e (-1,1) são pontos de sela. (3,1) é um mínimo e (-1,-1) é um máximo. Letra B.