Ensino Médio ⇒ Geometria Analítica: Ponto Médio de um Segmento

[lua]

Sejam [tex3]L(5,3), M(3,5) \text{ e } N(2,4),[/tex3] respectivamente, os pontos médios dos lados [tex3]AB, AC[/tex3] e [tex3]BC[/tex3] do triângulo [tex3]ABC.[/tex3] Determine as coordenadas cartesianas dos vértices deste triângulo.

Resposta:

---

[tex3]A(6,4) , B(4,2) , C (0,6)[/tex3]

[fabit]

Isso é feito por vetores ou por um sistema [tex3]3\times 3.[/tex3]

Se preferir o sistema, ele é escrito fazendo, por exemplo, [tex3]\frac{A+B}{2}=L[/tex3] e as outras duas equações análogas. Uma dica é que você pode deixar pra substituir [tex3]L, M[/tex3] e [tex3]N[/tex3] por suas coordenadas só na última hora, depois de ter resolvido o sistema isolando [tex3]A, B[/tex3] e [tex3]C.[/tex3]

Se fizer por vetores, também é interessante substituir as coordenadas dos pontos médios só após obter expressões para [tex3]A, B[/tex3] e [tex3]C.[/tex3]

Se não conseguir por nenhuma das formas, avise.

[Natan]

Oi fabit,

Você pode postar a solução por sistemas por favor?
Obrigado.

[adrianotavares]

Se [tex3]K(x_K,y_K)[/tex3] é o ponto médio do segmento de reta determinado por [tex3]P(x_P,y_P)[/tex3] e [tex3]Q(x_Q,y_Q),[/tex3] então:

• [tex3]\begin{cases}x_K=\frac{x_P+x_Q}{2}\\ y_K=\frac{y_P+y_Q}{2} \end{cases}[/tex3]

• [tex3]\frac{x_A+x_B}{2}=x_L\Longrightarrow x_A+x_B=10[/tex3]
  [tex3]\frac{y_A+y_B}{2}=y_L\Longrightarrow y_A+y_B=6[/tex3]
  
  [tex3]\frac{x_A+x_C}{2}=x_M\Longrightarrow x_A+x_C=6[/tex3]
  [tex3]\frac{y_A+y_C}{2}=y_M\Longrightarrow y_A+y_C=10[/tex3]
  
  [tex3]\frac{x_B+x_C}{2}=x_N\Longrightarrow x_B+x_C=4[/tex3]
  [tex3]\frac{y_B+y_C}{2}=y_N\Longrightarrow y_B+y_C=8[/tex3]

• [tex3]\left|\begin{array}{l} x_A+x_B=10 \\ x_A+x_C=6 \\ x_B+x_C=4 \end{array}\right.[/tex3]

• [tex3]x_A+x_C -x_B -x_C=6-4\Longrightarrow x_A-x_B=2[/tex3]

• [tex3]\left|\begin{array}{l} x_A+x_B=10 \\ \underline{x_A-x_B=2\text{ } (+)} \end{array}\right.[/tex3]

• [tex3]\text{ }2x_A=12\\
  \text{ }x_A=6[/tex3]

• [tex3]x_B=4\\
  x_C=0[/tex3]

• [tex3]\left|\begin{array}{l} y_A+y_B=6 \\ y_A+y_C=10 \\ y_B+y_C=8 \end{array}\right.[/tex3]

• [tex3]y_A+y_C -y_B -y_C=10-8\Longrightarrow y_A-y_B=2[/tex3]

• [tex3]\left|\begin{array}{l} y_A+y_B=6 \\ \underline{y_A-y_B=2\text{ } (+)} \end{array}\right.[/tex3]

• [tex3]\text{ }2y_A=8\\
  \text{ }y_A=4[/tex3]

• [tex3]y_B=2\\
  y_C=6[/tex3]

Resposta: [tex3]A(6,4) , B(4,2) \text{ e } C (0,6).[/tex3]

[fabit]

Vou fazer por sistema e também por vetores.
A figura básica é a seguinte.

• 

  AD47.png (7.59 KiB) Exibido 2049 vezes

Uma dica é que você pode deixar pra substituir [tex3]L, M[/tex3] e [tex3]N[/tex3] por suas coordenadas só na última hora, depois de ter resolvido o sistema isolando [tex3]A, B[/tex3] e [tex3]C.[/tex3]

Se fizer por vetores, também é interessante substituir as coordenadas dos pontos médios só após obter expressões para [tex3]A, B[/tex3] e [tex3]C.[/tex3]

Meu sistema é [tex3]\begin{cases} \frac{A+B}{2}=L\\\frac{B+C}{2}=N\\\frac{A+C}{2}=M \end{cases}[/tex3]

Somando as três temos a equação [tex3]A+B+C=L+M+N[/tex3]

Como o sistema original é equivalente a [tex3]\begin{cases}A+B=2L\\B+C=2N\\A+C=2M \end{cases}[/tex3] podemos subtrair [tex3]A+B+C=L+M+N[/tex3] de cada uma dessas, obtendo [tex3]\begin{cases}C=M+N-L\\A=L+M-N\\B=L+N-M \end{cases}[/tex3]

O que quis dizer com "substituir só no fim" é que só agora vou incluir [tex3]L(5,3), M(3,5)[/tex3] e [tex3]N(2,4)[/tex3] para achar [tex3]A, B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] (só vou fazer o [tex3]A):[/tex3]

• [tex3]A=L+M-N=(5,3)+(3,5) -(2,4)=(5+3-2,3+5-4)=(6,4).[/tex3]

Por vetores, observe a figura abaixo.

• 

  AD48.png (4.61 KiB) Exibido 2045 vezes

Dela, temos [tex3]\vec{BL}=\vec{NM}\Rightarrow L-B=M-N\Rightarrow B=L- M+N[/tex3] e [tex3]\vec{LA}=\vec{NM}\Rightarrow A-L=M-N\Rightarrow A=L+M-N.[/tex3]
O resto é igual, mas chegou-se à resposta com menos trabalho.

Concorda que vetores arrebentam?

[Natan]

Como o sistema original é equivalente a [tex3]\begin{cases}A+B=2L\\B+C=2N\\A+C=2M \end{cases}[/tex3] podemos subtrair [tex3]A+B+C=L+M+N[/tex3] de cada uma dessas, obtendo [tex3]\begin{cases}C=M+N-L\\A=L+M-N\\B=L+N-M \end{cases}.[/tex3]

Poderia me explicar essa parte de novo por favor?

[lua]

Obrigada pessoal pela ajuda e atenção à pergunta.

Votos de sucesso para Fabit, Adriano Tavares e Natan!

Até, Lua.

[fabit]

Fato número 1: os sistemas [tex3]\begin{cases}\frac{A+B}{2}=L\\\frac{B+C}{2}=N\\ \frac{A+C}{2}=M \end{cases}[/tex3] e [tex3]\begin{cases}A+B=2L\\B+C=2N\\ A+C=2M \end{cases}[/tex3] são equivalentes porque de um para o outro basta dobrar as equações membro a membro.

Fato número 2: no sistema [tex3]\begin{cases} \frac{A+B}{2}=L\\ \frac{B+C}{2}=N\\ \frac{A+C}{2}=M \end{cases},[/tex3] quando somamos as três equações membro a membro, fica:

• [tex3]\frac{A+B}{2}+\frac{B+C}{2}+\frac{A+C}{2}=L+M+N\Rightarrow\frac{2A+2B+2C}{2}=L+M+N\Rightarrow A+B+C=L+M+N .[/tex3]

Fato número 3: dessa última equação, se subtrairmos as equações do sistema [tex3]\begin{cases}A+B=2L \\ B+C=2N \\ A+C=2N \end{cases},[/tex3] uma de cada vez, fica

a) [tex3]\(A+B+C\)-\(A+B\)=\(L+M+N\)-\(2L\)\Rightarrow C=M+N-L[/tex3]
b) [tex3]\(A+B+C\)-\(B+C\)=\(L+M+N\)-\(2M\)\Rightarrow A=N+L-M[/tex3]
c) [tex3]\(A+B+C\)-\(A+C\)=\(L+M+N\)-\(2N\)\Rightarrow B=M+L-N[/tex3]

Valeu, Lua!