IME/ITA ⇒ (Escola Naval - 2018) Eletrostática Tópico resolvido

[Oziel]

A figura acima mostra um casca esférica de raio interno a e raio externo 4a, ambos em metros, carregada com densidade volumétrica de carga p=2/a^3 (C/m^3). No centro geométrico da casca, há uma carga pontual q = -379C. Estando o sistema de cargas descrito acima isolado numa região de vácuo , qual o módulo, a direção e o sentido do vetor campo elétrico, em newtons/coulomb, nos pontos do espaço que distam 5a metros da carga pontual ?

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Dados :a é um número inteiro positivo
ko é a constante elétrica no vácuo
considere pi = 3

a) 5ko/a^2, radial pra dentro

b) 5ko/a^2, radial pra fora

c) 25ko/a^2, tangencial no sentido anti-horário

d) 25ko/a^2, radial pra fora

e) 25ko/a^2, tangencial no sentido horário

Resposta

---

Não Tenho

[erihh3]

Sabemos que

[tex3]\vec{E_r}=\vec{E_1}+\vec{E_2}[/tex3]

Seja E_1 o campo elétrico gerado pela carga [tex3]q = -379C[/tex3].

Daí,

[tex3]E_1=\frac{kq}{(5a)^2}=-\frac{379k}{25a^2}[/tex3]

Vamos calcular [tex3]E_2[/tex3]:

Utilizando o teorema da casca e a lei de gauss já simplificada, teremos:

[tex3]E_2.A=\frac{q_i}{\varepsilon_0}[/tex3]

A carga interna será dada por

[tex3]q_i=\rho.V[/tex3]

[tex3]q_i=\frac{2}{a^3}.\left ( \frac{4\pi(4a)^3}{3}-\frac{4\pi(a)^3}{3} \right)[/tex3]

[tex3]q_i=168\pi[/tex3]

Substituindo na lei de gauss e já utilizando a área envolvida, tem-se:

[tex3]E_2.(4\pi(5a)^2)=\frac{168\pi}{\varepsilon_0}[/tex3]

[tex3]E_2=\frac{42}{25\varepsilon_0a^2}[/tex3]

[tex3]E_2=\frac{42(4\pi k)}{25a^2}=\frac{504 k}{25a^2}[/tex3]

Até agora nos preocupamos apenas com o módulo dos campos elétricos. Pelo teorema das cascas, agora, vemos que é fácil ver que a casca pode ser interpretada, também, como uma carga pontual no centro geométrico da mesma. Isso torna os campos elétricos E_1 e E_2 paralelos.

Deste modo,

[tex3]\vec{E_r}=\left(-\frac{379k}{25a^2}+\frac{504 k}{25a^2}\right)\hat{r}[/tex3]

[tex3]\vec{E_r}=\frac{5k}{a^2}\hat{r}[/tex3]

Portanto, o campo elétrico resultante é radial para fora e o seu módulo é [tex3]\vec{E_r}=\frac{5k}{a^2}[/tex3]

Letra B