Ensino Superior ⇒ Taxa e Variação de uma função. Tópico resolvido

[MichelChagas]

Preciso entender o desenvolvimento desta questão.

Determine a taxa e variação de f (x,y,z) = xz/ (x2+y2 + 1) no ponto (1,0, -1) na direção do vetor u = r ' (t) onde r(t) = (t, 1 + 2t, -1 + t).

Gabarito: raiz 6/2

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

O primeiro passo será normalizar o vetor u = r'( t ) , temos

r'( t ) = ( 1 , 2 , 1 ) , ou seja , [tex3]\vec{u}=(1,2,1)[/tex3], vem;

[tex3]\vec{u}=\sqrt{1^2+2^2+1^2}[/tex3] = √6

A norma do vetor u é √6. Vamos dividir cada componente do vetor pela sua norma para encontrar o seu versor ou vetor unitário.

[tex3]\vec{v}[/tex3] = ( 1/√6 , 2/√6 , 1/√6 )

Daí;

[tex3]v_{1}[/tex3] = 1/√6

[tex3]v_{2}[/tex3] = 2/√6

[tex3]v_{3}[/tex3] = 1/√6

Devemos encontrar as derivadas parciais da função f.

[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)= f_{x}(x,y,z).v_{1}+f_{y}(x,y,z).v_{2} + f_{z}(x,y,z).v_{3}[/tex3]

[tex3]f_{x}=\frac{(xz)'.(x^2+y^2+1)-(xz)(x^2+y^2+1)'}{(x^2+y^2+1)^2}[/tex3]

Obs. Apliquei a regra da derivada do quociente em relação a "x".

Desenvolvendo, resulta;

[tex3]f_{x}=\frac{z(-x^2+y^2+1)}{(x^2+y^2+1)^2}[/tex3]

Para fy segue o mesmo processo , só com uma diferença que será em relação a "y", resultando em;

[tex3]f_{y}=-\frac{2xyz}{(x^2+y^2+1)^2}[/tex3]


Calculando fz , observando que x/( x² + y² + 1 ) é uma constante, fica;

[tex3]f_{z}=\frac{x}{x^2+y^2+1}.z'[/tex3]

[tex3]f_{z}=\frac{x}{x^2+y^2+1}[/tex3]


Agora, iremos achar o valor de cada derivada parcial aplicada ao ponto P( 1 , 0 , - 1 ):

[tex3]f_{x}=\frac{-1.(-1^2+0^2+1)}{(1^2+0^2+1)^2}=0[/tex3]

[tex3]f_{y}=-\frac{2.1.0.(-1)}{(1^2+0^2+1)^2}=0[/tex3]


[tex3]f_{z}=\frac{1}{1^2+0^2+1}=\frac{1}{2}[/tex3]

Então;

[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)= f_{x}(x,y,z).v_{1}+f_{y}(x,y,z).v_{2} + f_{z}(x,y,z).v_{3}[/tex3]

[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)= 0.\frac{1}{\sqrt{6}}+ 0.\frac{2}{\sqrt{6}}+ \frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{6}}[/tex3]

[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)= 0.\frac{1}{\sqrt{6}}+ 0.\frac{2}{\sqrt{6}}+ \frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{6}}[/tex3]

[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)=\frac{1}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2.6}=\frac{\sqrt{6}}{12}[/tex3]

Portanto, [tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)=\frac{\sqrt{6}}{12}[/tex3]



Bons estudos!

[MichelChagas]

Obrigado, amigo. Abraço.

[Cardoso1979]

Obrigado, amigo. Abraço.

Disponha