Pré-Vestibular ⇒ (MACK - 1997) Geometria Plana: Área de um Triângulo

[rapduck]

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Na figura, a circunferência de centro [tex3]O[/tex3] tem raio [tex3]6,[/tex3] [tex3]\alpha =\text{arctg}\frac{1}{2}[/tex3] e [tex3]C[/tex3] é o ponto de tangência. Então a área do triângulo [tex3]ABC[/tex3] é igual a:

a) [tex3]36[/tex3]
b) [tex3]38,4[/tex3]
c) [tex3]40[/tex3]
d) [tex3]40,5[/tex3]
e) [tex3]42[/tex3]

[adrianotavares]

Olá, rapduck.

• 

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Como [tex3]AD[/tex3] é diâmetro, o [tex3]\triangle ACD[/tex3] é retângulo.
Sabendo que [tex3]BC[/tex3] é tangente ao círculo, temos que o [tex3]\triangle BCO[/tex3] também é retângulo.

• [tex3]\overline{AO}=\overline{OC}=6\Longrightarrow O\widehat{A}C=A\widehat{C}O\Longrightarrow E\widehat{O}C=2\alpha.[/tex3]

• [tex3]\alpha = \text{arctg} \frac{1}{2}\Longrightarrow \text{tg} \alpha = \frac{1}{2}[/tex3]

• [tex3]\text{tg} 2 \alpha= \frac{ 2\text{tg} \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} = \frac{2\cdot \frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}} = \frac{4}{3}[/tex3]

• [tex3]\triangle BCO: \left|\begin{array}{l} \text{tg}2 \alpha = \frac{\overline{BC}}{6}\Longrightarrow \frac{4}{3} = \frac{\overline{BC}}{6}\Longrightarrow \overline{BC} = 8\\
  \overline{BO}^2=\overline{CO}^2+\overline{BC}^2\Longrightarrow \overline{BO} = 10\\
  \overline{BO}\cdot \overline{CE}= \overline{CO}\cdot \overline{BC} \Longrightarrow 10\cdot \overline{CE} =6\cdot 8\Longrightarrow \overline{CE}=\frac{24}{5}
  \end{array}\right.[/tex3]

• [tex3]\overline{AB} = \overline{AO} + \overline{OB} = 6 + 10=16[/tex3]

• [tex3][ABC]=\frac{\overline{AB}\cdot \overline{CE}}{2}=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot \frac{24}{5}=8\cdot \frac{24}{5}=38,4.[/tex3]

Alternativa: (b).