Pré-Vestibular ⇒ (UFC) Análise Combinatória: PFC

[mactlop]

Quantos números pares de quatro algarismos distintos podem ser formados com os elementos do conjunto [tex3]A=\{0, 1, 2, 3, 4\}?[/tex3]

Resposta:

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[tex3]60[/tex3]

Alguém poderia me ajudar na solução?
Obrigado.

[fabit]

São [tex3]4[/tex3] tracinhos: _ _ _ _, nos quais devemos nos preocupar com o primeiro (milhares) e o último (unidades). Os números [tex3]1[/tex3] e [tex3]3[/tex3] não podem ser escolhidos para o último tracinho e o [tex3]0[/tex3] não pode ser escolhido para o primeiro.

Dois casos:

i) Com o [tex3]0[/tex3] na casa das unidades, sobram [tex3]1, 2, 3[/tex3] e [tex3]4[/tex3] para as demais. A restrição da casa dos milhares fica automaticamente satisfeita. Portanto, há [tex3]4 \times 3 \times 2 = 24[/tex3] números possíveis.

ii) Com [tex3]2[/tex3] ou [tex3]4[/tex3] na casa das unidades, ainda sobram [tex3]0, 1, 3[/tex3] e [tex3]4[/tex3] ou [tex3]2[/tex3] (dependendo da escolha que fizemos para a casa das unidades). Como o zero não pode ocupar a primeira casa, há [tex3]3 \times 3 \times 2 \times 2 = 36[/tex3] números possíveis.

Portanto, podemos formar [tex3]24 + 36 = 60[/tex3] números pares.