Pré-Vestibular ⇒ (UFPE) Polinômios e Equações Polinomiais

[fernandoev]

Sobre o polinômio [tex3]p(x)= x\cdot (x-1)\cdot(x-2)\cdot \ldots \cdot(x-9)[/tex3] analise as seguintes sentenças:

I. [tex3]p(x)[/tex3] tem dez divisores de grau [tex3]1.[/tex3]
II. [tex3]p(x)[/tex3] tem quarenta e cinco divisores de grau [tex3]2.[/tex3]
III. o produto das raizes de [tex3]p(x)[/tex3] é igual a [tex3]2^7 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7.[/tex3]
IV. a soma das raizes de [tex3]p(x)[/tex3] é igual a [tex3]45.[/tex3]
V. todas as raizes de [tex3]p(x)[/tex3] tem multiplicidade [tex3]1.[/tex3]

Quais delas estão corretas?

Resposta:

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I, II, IV e V

[brain_tnt]

Olá Fernando,

• [tex3]p(x)= x\cdot (x-1)\cdot(x-2)\cdot \ldots \cdot(x-9)[/tex3]

I. Verdadeira. [tex3]D(p)= \{x, x-1, x-2, x-3, x-4, x-5, x-6,x-7,x-8,x-9\}[/tex3]

II. Verdadeira. O número de divisores do [tex3]2^\circ[/tex3] grau é dado pelo número de modos que podemos escolher dois elementos de [tex3]D(p),[/tex3] isto é, [tex3]{10\choose 2}=45.[/tex3]

III. Errada. Como zero é uma das raízes de [tex3]p(x),[/tex3] o produto das raízes é zero.

IV. Verdadeira. As raízes de [tex3]p(x)[/tex3] constituem uma PA de dez termos, onde o primeiro termo é igual a zero e a razão é igual a [tex3]1.[/tex3] Logo, a soma das raízes é dada por

• [tex3]\frac{(0+9)\cdot 10}{2}=45.[/tex3]

V. Verdadeira. Note que [tex3]p(x)[/tex3] é dado por um produto de fatores distintos do [tex3]1^\circ[/tex3] grau. Logo, todas as raízes têm multiplicidade [tex3]1.[/tex3]