IME / ITA ⇒ (EsSA - 2006) Geometria Plana: Triângulos Tópico resolvido

[vinicius2]

Em um triângulo [tex3]ABC[/tex3] têm-se [tex3]\bar{AB} =10\text{cm}[/tex3] e [tex3]\bar{AC}=12\text{cm}.[/tex3] O incentro [tex3](I)[/tex3] e o baricentro [tex3](G)[/tex3] estão em uma mesma paralela a [tex3]BC.[/tex3] Determine a medida do lado [tex3]BC.[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá Vinicius,

Se alguém conseguir uma maneira diferente, por favor, poste-a aqui.

Sendo [tex3]r[/tex3] o raio do círculo inscrito, podemos escrever:

• [tex3]A=\frac{(12+10+x)\cdot r}{2}[/tex3]

(1) [tex3]r=\frac{A}{\left(11+\frac{x}{2}\right)}[/tex3]

Pela fórmula trigonométrica da área, podemos escrever também:

• [tex3]A=\frac{12\cdot x\cdot\sin\alpha}{2}[/tex3]

(2) [tex3]\sin\alpha=\frac{A}{6x}[/tex3]

onde [tex3]\alpha[/tex3] é o ângulo entre os lados [tex3]AC[/tex3] e [tex3]BC.[/tex3]

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Na figura acima podemos tirar algumas conclusões.

Pelas propriedades de baricentro, sabemos que a distância de [tex3]BC[/tex3] até [tex3]H[/tex3] é [tex3]\frac 13[/tex3] da distância de [tex3]A[/tex3] até [tex3]H,[/tex3] ou seja, sendo [tex3]ED[/tex3] paralelo a [tex3]BC,[/tex3] os triângulos [tex3]ADE[/tex3] e [tex3]ABC[/tex3] são semelhantes, e sua semelhança é [tex3]\frac 13[/tex3]. Portanto, [tex3]ED[/tex3] tem comprimento [tex3]\frac x3 ,[/tex3] [tex3]AE[/tex3] tem comprimento [tex3]\frac{10}{3}[/tex3] e [tex3]AD[/tex3] tem comprimento [tex3]\frac{12}{3}=4[/tex3]

Olhando para o triângulo [tex3]ADE,[/tex3] vemos que [tex3]AI[/tex3] é bissetriz. Portanto, podemos aplicar o teorema da bissetriz interna:

• [tex3]\frac{EI}{EA}=\frac{ID}{DA}[/tex3]
  
  [tex3]\frac{\frac x3 - ID}{\frac{10}{3}}=\frac{ID}{4}[/tex3]
  
  [tex3]ID=\frac{4x}{11}[/tex3]

Olhando para o triângulo [tex3]IFD,[/tex3] sendo [tex3]ID[/tex3] paralelo a [tex3]BC,[/tex3] temos que o ângulo [tex3]IDF[/tex3] vale [tex3]\alpha[/tex3] também. E o comprimento de [tex3]IF[/tex3] é [tex3]r.[/tex3] Portanto:

(3) [tex3]\sin\alpha=\frac{r}{\,\,\frac{4x}{11}\,\,}[/tex3]

Substituindo (1) e (2) em (3), temos:

• [tex3]\frac{A}{6x}=\frac{11\cdot\frac{A}{11+\frac x2}}{4x}[/tex3]
  
  [tex3]\frac{A}{6x}=\frac{11A}{\left(11+\frac x2\right)\cdot 4x}[/tex3]

Corta-se o A:

• [tex3]\frac{1}{6x}=\frac{11}{\left(11+\frac x2\right)\cdot 4x}[/tex3]

Resolvendo chegamos em:

• [tex3]x=11[/tex3]

Que é um resultado muito legal.

Quando a reta suporte do segmento que une o baricentro e o incentro é paralela a um dos lados do triângulo, os lados do triângulo estão em P.A.

Será que é fácil demonstrar esse fato depois de ver a resolução desta questão?

Se alguém tiver o saco de fazer, por favor, poste-a aqui.

[triplebig]

Seja o baricentro o ponto [tex3]P[/tex3] .

A altura do [tex3]\triangle CPB[/tex3] é o raio da cirunferência inscrita, e [tex3][CPB]=\frac{1}{3}[ABC][/tex3] .

Assim [tex3]\frac{BC\cdot r}{2}=\frac{[10+(BC)+12]r}{6}\;\therefore\;BC=11[/tex3]

[carloslord]

Não entendi essa fórmula, se não for incômodo, poderia me explicar como chegou aqui:

[tex3]\frac{BC.r}{2} = \frac{[10+(BC)+12]r}{6}[/tex3]

Que em seguida dá o BC = 11

[triplebig]

[tex3][CPB]=\frac{1}{3}[ABC]\\
\frac{BC\cdot r}{2}=\frac{1}{3}\cdot \frac{AB+BC+AC}{2}\cdot r[/tex3]

A primeira é a área normal de um triângulo e a segundo é a área de um triângulo com raio da circunferência inscrita [tex3]r[/tex3] , que é o semi-perímetro vezes o raio.

[carloslord]

Bom irmão, deixa eu ver se entendi.

Primeira fórmula é a área de um triangulo normal não é mesmo? Base x Altura dividido por 2, como nesse triângulo a altura é o raio você colocou como H o R, certo. A segunda é a área de um triangulo circunscrito, que seria o produto do semi perímetro com o raio, certo? S = p.r. Mas por que há esse [tex3]\frac {1}{3}[/tex3] mutiplicando a fórmula do triângulo circuncrito?

PS: Desculpa abusar tanto, mas é que eu estou querendo mesmo aprender matemática.

[triplebig]

Porque as linhas que ligam o baricentro aos vértices dividem o triângulo em 3 partes com áreas iguais.