Ensino Médio ⇒ Geometria Plana - Círculos e Triângulos Tangentes Tópico resolvido

[theblackmamba]

Na figura, [tex3]AB[/tex3] é um diâmetro da circunferência maior e [tex3]CD[/tex3] é perpendicular a [tex3]AB[/tex3]. A circunferência [tex3]C_1[/tex3] (de raio [tex3]r_1[/tex3]) é tangente aos [tex3]3[/tex3] lados do [tex3]\Delta ABC[/tex3], [tex3]C_2[/tex3] (de raio [tex3]r_2[/tex3]) e [tex3]C_3[/tex3] (de raio [tex3]r_3[/tex3]) são tangentes a [tex3]AB[/tex3], [tex3]CD[/tex3] e à circunferência maior.

circ.png (38.19 KiB) Exibido 4116 vezes

Então o valor da expressão [tex3]S=\frac{r_2+r_3}{r_1}[/tex3] é igual a :

[tex3]A)\,\,1\\B)\,\,2\\C)\,\,1/2\\D)\,\,1/4\\E)\,\,3[/tex3]

Resposta

---

[tex3]B[/tex3]

[andreluiz]

Boa tare a todos !

Alguém tem alguma ideia de como resolver ?

Sei que é difícil, mas se alguém puder dar alguma dica agradeço antecipadamente !
Valeu

[theblackmamba]

Olá pessoal,
Juro que já tentei pensar nessa questão: ligar pontos, traçar retas... Mas as estratégias não levam a lugar algum pois as circunferências não são tangentes entre si.

O que consegui: Indo pelo gabarito a distância entre os pontos de tangência dos círculos 2 e 3 ao lado AB tem que ser igual ao diâmetro do círculo 1. Visualmente é viável mas não tenho como provar.

Se puderem me dar uma dica agradeceria muito!

Abraço.

[PedroCunha]

TheBlack, talvez esse link aqui te de uma ajuda:

Resposta

---

http://pir2.forumeiros.com/t21676-circu ... -triangulo

Att.,
Pedro

[dinhotosi]

é simples,r2+r3=2r1, logo é só substituir [tex3]\frac{2r1}{r1}=2[/tex3]

espero ter ajudado.

[theblackmamba]

é simples,r2+r3=2r1

O grande problema é como provar isso né rsrsrs

[Birnebaum]

Uma ideia >
1- a+b-c=2R1
2 -C2 tem que está no meio do semi círculo AD , pois é tangente ao diâmetro e a C1 , então R2 é AB/2=c/2
3 - R3, penso que possa ser calculado trabalhando no triângulo ABC , achando a projeção de CB (a) sobre AB , então R3 seria essa projeção dividido por 2 . Estou fora de órbita?

[Auto Excluído (ID:12031)]

Começamos aqui onde prova-se que sendo [tex3]T[/tex3] o ponto de contato de [tex3]C_3[/tex3] com [tex3]AB[/tex3] temos [tex3]AT = AC = AD[/tex3] então [tex3]\angle ATD = 90 - \frac{\angle A}2 \implies \angle CDT = \frac{\angle A}2[/tex3]
logo podemos encontrar facilmente o ponto [tex3]T[/tex3] seja [tex3]M [/tex3] o encontro da bissetriz interna do ângulo [tex3]A[/tex3] com o circuncírculo de [tex3]\Delta ABC[/tex3] então [tex3]T = MD \cap AB[/tex3].

Logo [tex3]\tg \frac{ A}2 = \frac{r_3}{CD} = \frac{r_1}{p-a}[/tex3]

analogamente [tex3]\tg(45- \frac{ A}2) = \frac{r_2}{CD} = \frac{r_1}{p-b} [/tex3]
como
[tex3]\frac{r_3}{CD} + \frac{r_2}{CD} = r_1(\frac{1}{p-a}+\frac1{p-b}) = r_1\frac{2p -a-b}{(p-a)(p-b)}[/tex3]
[tex3]= cr_1\frac{1}{(p-a)(p-b)}= (cpr_1^2)\frac{1}{S^2} = \frac{cr_1}{S} = \frac{2r_1}{CD}[/tex3]

portanto
[tex3]S=2[/tex3]

[Auto Excluído (ID:12031)]

percebi um erro de digitação: onde estão [tex3]\frac{r_2}{CD}[/tex3] e [tex3]\frac{r_3}{CD}[/tex3] troquem [tex3]CD[/tex3] por [tex3]\frac{CD}2[/tex3] eu confundi [tex3]D[/tex3] com o pé da altura de [tex3]C[/tex3] em relação à base [tex3]AB[/tex3]

[marcjsip]

Considerações importantes

AC= b
BC= a.    a²+b²=c²
AB= c

Centro de C1 = 01, raio R1
Centro de C2 = O2, raio R2
Centro da circunferência maior = O
Centro de C3 = O3, raio R3
Ponto de tangência de C1 com AB = Z
Ponto de tangência de C2 com AB = X
Ponto de tangência de C3 com AB = Y
Ponto de interseção das retas AB e CD = H

Primeiro, vamos determinar o diâmetro de C1 sendo a soma dos catetos menos a hipotenusa, ou seja: 2 R1= a + b - c.


Agora vamos guardar essa informação e determinar os outros raios.

Começando por R2, iremos realizar um Pitágoras no triângulo OXO2:

OX²+O2X²=O2O². onde OX=AH-AO-XH=b²/c - c/2 -R2 . O2X=R2 . O2O= c/2-R2.     Obs : e terminei AH usando relação métrica do triângulo retângulo

Então = (b²/c - c/2 -R2)^2 + (R2)^2 = (c/2-R2)^2 ...
(R2)^2 + 2(R2)(c²-b²)/c - b²(c²-b²)/c² = 0 (sendo a²+b²=c²) <=> (R2)^2 + 2(R2)a²/c - b²a²/c² = 0
Ao resolver usando Bhaskara. R2= a - a²/c

Agora para de terminar R3 o processo acaba sendo o mesmo.
No triângulo OYO3:
(O3Y)^2 + (OY)^2 = (O3O)^2. Onde OY = OX + XH + HY. O3Y= R3 . O3O = c/2-R3

Aplicando o mesmo método você encontra que R3=b-b²/c

R2+R3= a-a²/c + b-b²/c = a+b-c = 2R1 ... 2R1=R2+R3

Desculpe-me não sei usar Latex