Pré-Vestibular ⇒ (UPF) Números Complexos: Forma Trigonométrica

[barbarahass]

Escreva o número [tex3]z= \frac{i^{133}-i^{134}}{i^{1999}}[/tex3] na forma trigonométrica.

Resposta:

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[tex3]z= \sqrt{2}\cdot \left(\cos {\frac{3\pi}{4}} +i\cdot\text{sen} \frac{3\pi}{4}\right)[/tex3]

[fabit]

Multiplicando o numerador e o denominador por [tex3]i:[/tex3]

• [tex3]z=\frac{i^{134}-i^{135}}{i^{2000}}=\frac{i^{\(132+2\)}-i^{\(132+3\)}}{i^{2000}}[/tex3]

Como [tex3]i^4=1,[/tex3] podemos livremente retirar qualquer múltiplo de [tex3]4[/tex3] do expoente do [tex3]i,[/tex3] ficando com

• [tex3]z=\frac{i^2-i^3}{1}=-1-(-i)=-1+i[/tex3]

Trata-se da diagonal do quadrado unitário apoiado no segundo quadrante complexo, portanto seu módulo é [tex3]\sqrt{2}[/tex3] e seu argumento é [tex3]135^\circ=\frac{3\pi}{4}.[/tex3]

Daí

• [tex3]z=\sqrt{2}\cdot \left[\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\right][/tex3]