Ensino Superior ⇒ Limites - James Stewart Tópico resolvido

[jvmago]

Calcule [tex3]\lim _{x\to \infty }\left(\frac{\left(x+2\right)^{\frac{1}{x}}-x^{\frac{1}{x}}}{\left(x+3\right)^{\frac{1}{x}}-x^{\frac{1}{x}}}\right)[/tex3]

[erihh3]

Dividindo por [tex3]x^{\frac{1}{x}}[/tex3]

[tex3]\lim _{x\to \infty }\left(\frac{\left(1+\frac{2}{x}\right)^{\frac{1}{x}}-1}{\left((1+\frac{3}{x}\right)^{\frac{1}{x}}-1}\right)[/tex3]

Substituição de variável: [tex3]y=\frac{1}{x}[/tex3]

[tex3]\lim _{y\to 0 }\left(\frac{\left(1+2y\right)^{y}-1}{\left(1+3y\right)^{y}-1}\right)[/tex3]

A ideia a partir daqui é usa a expansão em série de taylor e limitando com "ó pequeno". Daí,

[tex3]f(y)=(1+2y)^y=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}.y+\frac{f''(0)}{2!}.y^2+o(y^2)[/tex3]

[tex3](1+2y)^y=1+0+2.y^2+o(y^2)=1+2.y^2+o(y^2)[/tex3]

Analogamente,

[tex3](1+3y)^y=1+3y^2+o(y^2)[/tex3]

Substituindo no limite, tem-se:

[tex3]\lim _{y\to 0 }\left(\frac{1+2.y^2+o(y^2)-1}{1+3y^2+o(y^2)-1}\right)[/tex3]

[tex3]\lim _{y\to 0 }\left(\frac{2.y^2+o(y^2)}{3y^2+o(y^2)}\right)[/tex3]

[tex3]\lim _{y\to 0 }\left(\frac{2+\frac{o(y^2)}{y^2}}{3+\frac{o(y^2)}{y^2}}\right)[/tex3]

Pela própria definição de "ó pequeno", [tex3]\lim_{x\to 0}\frac{o(x)}{x}=0[/tex3]

Daí,

[tex3]\lim _{y\to 0 }\left(\frac{2+\frac{o(y^2)}{y^2}}{3+\frac{o(y^2)}{y^2}}\right)=\frac{2}{3}[/tex3]