Pré-Vestibular ⇒ (CESGRANRIO) Números Complexos: Forma Algébrica

[Doug]

O módulo do número [tex3]z,[/tex3] tal que [tex3]z^2=i,[/tex3] é:

[tex3]\text{a) 0 b) \frac{\sqrt{2}}{2} c) 1 d) \sqrt{2} e) 2}[/tex3]

[Thadeu]

Fazendo [tex3]z=a+bi,[/tex3] sendo [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] números reais, teremos:

• [tex3]z^2=i\Rightarrow(a+bi)^2=i \Rightarrow a^2+2abi+b^2i^2=i \Rightarrow (a^2-b^2)+(2ab)i=i \Rightarrow (a^2-b^2)+(2ab)i=0+1\cdot i[/tex3]

Fazendo a comparação na igualdade, a parte real de [tex3]z^2[/tex3] deve ser zero e a parte imaginária deve ser igual a [tex3]1:[/tex3]

• [tex3]\begin{cases}a^2-b^2=0\\2ab=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a^2=b^2\\2ab=1\end{cases}[/tex3]

• [tex3]4a^2b^2=1 \Rightarrow 4(a^2)^2=1 \Rightarrow a^2=\sqrt{\frac{1}{4}}\Rightarrow a^2=\frac{1}{2}=b^2.[/tex3]

Note que pelo fato de [tex3]a[/tex3] ser um número real, [tex3]a^2>0.[/tex3]

• [tex3]|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=\sqrt{1}=1[/tex3]

Resposta: (c).

[Doug]

Muito obrigado Thadeu.