Pré-Vestibular ⇒ (UEM PAS 2011) Funções Tópico resolvido

[skulllsux189]

Um objeto é lançado do solo (origem) verticalmente para cima e retorna ao solo após k segundos. A altura que esse objeto se encontra do solo, em metros, em relação ao tempo ,t em segundos, é dada pela função f :[0, K]-> R, definida por f(t)= 40t - 5 [tex3]t^{2}[/tex3], em que f(0) corresponde à sua altura no instante do lançamento. A esse respeito, considerando seus conhecimentos sobre Funções e
sobre Cinemática e desprezando a resistência do ar, assinale o que for correto.

01) O valor de k é 8.
02) A função fé injetora.
04) A altura máxima alcançada pelo objeto é 100 .m
08) A função f é crescente no intervalo [0, 4].
16) O conjunto imagem de está contido no intervalo [0,+∞[;

[csmarceloMOD]

01) O valor de k é 8.

Correto.

O domínio é representado pelo tempo e ele vai do momento do lançamento até quando a pedra encontra novamente o chão, que ocorre quando [tex3]f(x)=0[/tex3].

[tex3]40t-5t^2=0[/tex3]
[tex3]t(40-5t)=0[/tex3]

[tex3]t_1=0[/tex3]
[tex3]t_2=8[/tex3]

02) A função fé injetora.

Errado.

Uma função cuja lei de formação é uma equação do segundo grau, só é injetora se um dos extremos do intervalo do domínio for [tex3]\frac{-b}{2a}[/tex3].

04) A altura máxima alcançada pelo objeto é 100 .m

Errado.

A altura máxima é igual a [tex3]-\frac{\Delta}{4a}=80[/tex3]

08) A função f é crescente no intervalo [0, 4].

Correto.

Afinal, [tex3]\frac{-b}{2a}=4[/tex3].

16) O conjunto imagem de está contido no intervalo [0,+∞[;

Errado.

Já vimos que a altura máxima é igual a 80.

[skulllsux189]

Oi não entendi muito a resposta que você deu pra alternativa 01

02) A função fé injetora.

Errado.

Uma função cuja lei de formação é uma equação do segundo grau, só é injetora se um dos extremos do intervalo do domínio for [tex3]\frac{-b}{2a}[/tex3].

0

Sobre alternativa 2 que interessante haha nao sabia disso, tem outras coisas a pontuar sobre funções sobrejetoras,bijetoras para equações de segundo grau...

Se tem mais alguma afirmação desse tipo... Sobre classificações de funções que vc puder compartilhar... Na função log ou na exponencial qdo e bijetora sobrejotra tbm..


Parece que as funções log e exponencial de mesma base são funções par... Afirmações desse tipo haha, ia me ajudar!

[csmarceloMOD]

Oi não entendi muito a resposta que você deu pra alternativa 01

8 é uma das raízes da equação dada, ou seja, é quando a pedra cai no chão. Qualquer valor de [tex3]x[/tex3] maior que 8 resultaria em uma altura absoluta negativa, o que não faz sentido, ou seja, não existem valores negativos na imagem. Como todo elemento do domínio deve se relacionar com algum elemento do contra-domínio, o extremo superior do primeiro tem que ser, portanto, 8.

Sobre alternativa 2 que interessante haha nao sabia disso, tem outras coisas a pontuar sobre funções sobrejetoras,bijetoras para equações de segundo grau...

A sobrejetividade de uma função do segundo grau ocorrerá quando o contra-domínio for:

1) Para [tex3]a>0[/tex3]

[tex3]\[-\frac{\Delta}{4a},k\],k\in\mathbb{R}\geq-\frac{\Delta}{4a}[/tex3]

2) Para [tex3]a<0[/tex3]

[tex3]\[-\frac{\Delta}{4a},k\]\in\mathbb{R}\leq-\frac{\Delta}{4a}[/tex3]

Tanto a função logarítmica quanto a função exponencial são, via de regra, bijetoras, mas é claro que você pode determinar intervalos de domínio e contra-domínio para uma função específica, de forma que a sobrejetividade não exista.

[skulllsux189]

deixa eu so tirar uma duvida sobre sobrejetividade

então, obrigatoriamente uma das raizes tem que ser Ydo vertice e a outra raiz tem que ser menor ou maior que ele dependendo do a? é isso?

[csmarceloMOD]

Não raízes, mas extremos do intervalo do contra-domínio.

O que configura uma função como sobrejetora? O fato do contra-domínio corresponder à imagem, não é?

Foi isso que eu fiz, igualei o contra-domínio à imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores de [tex3]f(x)[/tex3].

Em uma função do segundo grau, o valor máximo (ou mínimo) de [tex3]y[/tex3] é [tex3]-\frac{\Delta}{4a}[/tex3]. Logo, se eu definir o contra-domínio com um extremo (aquele associado ao sentido do vértice) além desse valor, a função não será sobrejetora, pois todos os valores reais além de [tex3]y_v[/tex3] não são "alcançáveis".

Já o valor de [tex3]k[/tex3], via de regra, é [tex3]\pm\infty[/tex3], visto que, para o sentido oposto do vértice, a parábola creste infinitamente, mas, como falei anteriormente, você pode determinar intervalos de domínio e contra-domínio para uma função específica, de forma que a sobrejetividade não exista.

No caso de [tex3]f(x)=x^2[/tex3], por exemplo. Se eu disser que [tex3]D=[-8,10][/tex3], então eu tenho que dizer que [tex3]CD=[0,100][/tex3], se eu quiser que a função seja sobrejetora.

Zero é o valor de [tex3]-\frac{\Delta}{4a}[/tex3].
Cem é o valor de [tex3]f(x)[/tex3] para [tex3]x=10[/tex3], que é o maior valor possível de [tex3]x[/tex3].