Física I ⇒ UEM/CVU – Vestibular de Inverno/2011 Tópico resolvido

[skulllsux189]

Um pêndulo é formado por uma pedra de massa igual a
300 g e por um fio inextensível de 50 cm
de comprimento, preso a um ponto P no teto. A pedra é
afastada de sua posição de repouso e solta sob a ação da
força de gravidade. Em sua primeira oscilação, a pedra
percorre um arco de 50 cm. Cada oscilação seguinte mede 90% da oscilação an
terior. A partir dessas informações, assinale o que for correto.

01) A distância total percorrida pela pedra, até sua
parada, é de 4 m.
02) A primeira oscilação do pêndulo forma um setor
circular cujo ângulo interno no ponto P mede 1
radiano.
04) A área do setor circular formado pela primeira
oscilação, em relação ao ponto P, mede 0,125 m^2
.
08) Na posição de repouso, o
valor da tensão no fio é de 4,9 N
.
16) Durante as oscilações do pêndulo, ao passar pelo
ponto mais baixo da trajetória, o valor da tensão é
menor que o valor da força peso.

Resposta

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gab:02-04

[AlguémMeHelp]

eae, skulllsux189! blz? Cara, achei na net uma resolução errada dos itens 01 e 08 dessa questão, mas irei responder passo a passo, ok?

01) bom, 1 oscilação é ida e volta, certo?? se o arco descrito vale 50 cm (essa parte ficou meio imprecisa no enunciado... dá pra interpretar que é isso sim porque, afinal, o gabarito aponta o item 2 como certo; pra que ele esteja certo, deve-se partir desse princípio), ida e volta resultam em um percurso de 100 cm, e a cada oscilação seguinte "mede 90% da anterior"; assim, forma-se uma sequência PG infinita de razão 0.9: [tex3](100;\: 100\cdot 0.9; \: 100\cdot (0.9)^{2}...)[/tex3]. Pede-se a distância total percurrida, ou seja, a soma de cada oscilação, que está retratada na sequência de PG que escrevi agora há pouco. Sabe-se que [tex3]S_{\infty }\:=\:\frac{a_{1}}{1-q}\rightarrow \;\;S_{\infty }\:=\:\frac{100}{1-0.9}\;\;\therefore \:S_{\infty }\:=\:1000\:cm\:=\:10\:metros[/tex3], o que não condiz com a afirmação. Item errado.

02) Como eu disse no item 1, deve-se interpretar que a cada meia oscilação (a cada arco descrito, seja de ida seja de volta), na primeira oscilação, o arco medido foi de 50 cm, ou seja, desde o ponto em que foi solto até o outro lado, onde o pendulo tem velocidade igualmente nula, o arco descrito foi de 50 cm. Ok, sem delongas, vamos recorrer àquela fórmula da matemática [tex3]\theta \:=\:\frac{arco}{raio}[/tex3], em que [tex3]\theta [/tex3] está expresso em radianos. Bom, só jogar os dados: [tex3]\theta \:=\:\frac{50cm}{50cm}\;\;\;\therefore\:\:\theta\:=\:1\:radiano[/tex3], o que torna esta sentença correta.

04) este item só requer uma regrinha de três. Se \pi \cdot R^{2} corresponde à área de 360º, quanto vale a área de 1 radiano??

[tex3]\begin{pmatrix}
\pi \cdot R^{2} &\rightarrow \;\;\;\;2\pi\:rad \\
x & \rightarrow \;1\:rad \\
\end{pmatrix}\;\;\;\;\rightarrow x\:=\:\frac{R^{2}}{2}\;\;\;\therefore\: x\:=\:\frac{(0.5)^{2}}{2}\:=\:0.125\:m^{2}[/tex3], tal como afirma o item. Portanto, correto.

08) A posição de "repouso" ou de equilíbrio não significa que tensão e peso se anulam!!! Na real, o módulo da tensão deve ser maior que o módulo do peso da pedra, haja vista se tratar de um movimento circular acelerado. Isso é um erro comum em questões de vestibular, cuidado! o que ocorre nesse ponto é que há somente a componente centrípeta da força resultante, já que os vetores tensão e peso se encontram numa mesma direção, que nesse caso a resultante é vertical, para cima e perpendicular à trajetória. Já que te provei que a resultante é a centrípeta: [tex3]F_{cp}\:=\:m\cdot\:\frac{v^{2}}{R}\:\rightarrow \;T\:-\:P\:=\:m\cdot\:\frac{v^{2}}{R}\;\;\rightarrow T\:=\:m\cdot g +\:m\cdot\:\frac{v^{2}}{R}\:(equação\;1)[/tex3]. Pronto... agora a coisa ficou doida kkk como achar a velocidade?? Vamos ter que recorrer à conservação de energia, adotando-se como referência o ponto mais baixo do centro de massa da pedra, ou seja, o ponto em que o enunciado chama de "repouso". Irei reproduzir numa imagem o que quero te mostrar pra conseguir resolver.

Aqui está representado meia oscilação do pêndulo: desde quando soltou (lado esquerdo da imagem) até chegar ao outro lado, antes de retornar à posição original (à direita da imagem); observe que se o ângulo total que calculamos no item 2 é 1 radiano (meia oscilação), então desde o ponto em que se soltou a pedra até o ponto de repouso o ângulo descrito é metade de 1 radiano (0,5 radiano). Pd demonstrar isso com aquela fórmula de matemática que usamos pra resolver o item 2 tbm!

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Aqui observe que do ponto onde foi abandonado até o ponto D (repouso) tem-se uma altura "h", que devemos determinar para poder utilizar a conservação de energia mecânica!

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Bem, da segunda imagem, observe que [tex3]h\:=\:R\:-\:R\cdot cos(0.5)\:=\:R\cdot\:(1\:-\:cos(0.5))[/tex3]. Vamos ter que fazer uma baita aproximação para coneguir resolver sem recorrer à calculadora, já que na prova provavelmente vc ñ vai poder utilizar (a não ser que seja na UnB, mas lá é calculadora simples, não tem seno, cosseno..). Se [tex3]\pi \:radianos[/tex3] corresponde a 180º, logo 0.5 radianos corresponde a 90°/[tex3]\pi [/tex3]. Na boa kkkk bora arredondar essa divisão pra 30º (no final cê vai ver que de qualquer jeito o resultado passa longe do que o item afirmou... numa questão assim eles não cobrariam tamanha precisão em contas, ok?) . Então [tex3]0.5\approx 30°\;\;\rightarrow \;h\:=\:R\cdot(1\:-\:cos(30°))\;\;\therefore\:h\:\approx\:R\cdot\:0.13[/tex3], tomando-se cos(30°) como aproximadamente 0.87, certo? Do enunciado, tem-se que R = 50 cm = 0.5 metros . Logo: h = 0.065 metros.

Da conservação de energia mecânica: A energia no ponto em que se solta a pedra com velocidade nula é igual à energia no ponto D (repouso). Observe que, como dito, adotei o ponto D como referência, por isso pude medir a altura relativa "h"! Assim, sabendo que do ponto de onde lançou só há energia potencia gravitacional e que no ponto D só há energia cinética, podemos encontrar a velocidade de translação da pedra nesse exato instante; após isso, achando o valor de [tex3]v^{2}[/tex3] podemos jogar lá na equação 1 e finalmente encontrar o valor da tensão kkk

[tex3]E^{no\;ponto\;inicial}_{pot}\:=\:E^{no\; ponto\; D}_{cinética}\;\;\rightarrow \;mgh\:=\:m\frac{v^{2}}{2}\;\;\rightarrow \:v^{2}\:=\:2gh\\\rightarrow \:v^{2}\:=\:2\cdot 10\cdot 0.065\;\;\;\therefore\;\;v^{2}\:=\:1.3[/tex3]

Jogando esse valor encontrado na [tex3]equação\:1[/tex3], lembrando que a massa vale 0.3 kg:

[tex3]T\:=\:m\cdot g +\:m\cdot\:\frac{v^{2}}{R}\:\rightarrow \:\;\;T\:=\:0.3\cdot 10\:+\:0.3\cdot\:\frac{1.3}{0.5}\;\;\therefore\:T\:\approx\:3.78\:Newtons[/tex3]; o resultado é aproximado (aproximadíssimo kkkkk) por termos feito lá em cima que 0.5 radiano é próximo de 30°!! Joguei numa calculadora científica os dados de forma rigorosa e no final deu que [tex3]T\:\approx\:3.7345\:Newtons[/tex3], um erro de cerca de 1.2% para mais eu diiisse q fizemos bem! Logo, o item está errado.

16) Como provamos aí no item 08, a tensão vale (arredondando BEM kkkk) 3.7 newtons, enquanto o peso vale [tex3]P\:=\:0.3\cdot\:10\:=\:3\:N[/tex3]. Logo, [tex3]T\:>\:P[/tex3]. Item errado.

Ufa, questão exigente, hein? Mas pegando a prática, matava em 5 minutos; o passo a passo é que faz parecer longa demais. Cuidado com as pegadinhas sobre "ponto de repouso", já que no ponto em que a pedra se encontra na posição mais baixa não há anulação entre tensão e peso, ok? espero ter ajudado, um abração, cara! Sucessso.