Ensino Superior ⇒ derivada da função utilizando a Definição de Limite Tópico resolvido

[thetruth]

Calcule a derivada da função utilizando a definição de limite

a)f(x) = [tex3]\frac{1}{x}[/tex3]

b f(x) = [tex3]x^{3}[/tex3] + 2x

[erihh3]

Sabemos que

[tex3]f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/tex3]

a)
[tex3]f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}[/tex3]

[tex3]f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{-\frac{h}{x(x+h)}}{h}[/tex3]

[tex3]f'(x)=\lim_{h\to0}-\frac{\not h}{x(x+h)\not h}[/tex3]

[tex3]f'(x)=\lim_{h\to0}-\frac{1}{x(x+h)}[/tex3]

Aplicando o limite

[tex3]f'(x)=-\frac{1}{x^2}[/tex3]

b)
[tex3]f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{[(x+h)^3+2(x+h)]-[x^3+2x]}{h}[/tex3]

[tex3]f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{[x^3+3x^2h+3xh^2+h^3+2x+2h]-[x^3+2x]}{h}[/tex3]

[tex3]f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{[\not x^3+3x^2h+3xh^2+h^3+\not 2x+2h]-[\not x^3+\not 2x]}{h}[/tex3]

[tex3]f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\cancel h(3x^2+3xh+h^2+2)}{\cancel h}[/tex3]

[tex3]f'(x)=\lim_{h\to0}3x^2+3xh+h^2+2[/tex3]

Aplicando o limite

[tex3]f'(x)=3x^2+2[/tex3]

[thetruth]

Sabemos que

[tex3]f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}[/tex3]

a)
[tex3]f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}[/tex3]

[tex3]f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{-\frac{h}{x(x+h)}}{h}[/tex3]

[tex3]f'(x)=\lim_{h\to0}-\frac{\not h}{x(x+h)\not h}[/tex3]

[tex3]f'(x)=\lim_{h\to0}-\frac{1}{x(x+h)}[/tex3]

Aplicando o limite

[tex3]f'(x)=-\frac{1}{x^2}[/tex3]

b)
[tex3]f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{[(x+h)^3+2(x+h)]-[x^3+2x]}{h}[/tex3]

[tex3]f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{[x^3+3x^2h+3xh^2+h^3+2x+2h]-[x^3+2x]}{h}[/tex3]

[tex3]f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{[\not x^3+3x^2h+3xh^2+h^3+\not 2x+2h]-[\not x^3+\not 2x]}{h}[/tex3]

[tex3]f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\cancel h(3x^2+3xh+h^2+2)}{\cancel h}[/tex3]

[tex3]f'(x)=\lim_{h\to0}3x^2+3xh+h^2+2[/tex3]

Aplicando o limite

[tex3]f'(x)=3x^2+2[/tex3]

a segunda eu consegui fazer mas a primeira estava dando errado, muito obrigado por responder