Ensino Médio ⇒ Geometria Espacial: Pirâmide | Área Total

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O apótema de uma pirâmide regular é igual ao semiprímetro da base, e esta é um quadrado inscrito num círculo de [tex3]8\text{cm}[/tex3] de raio. Calcule a área total da pirâmide.

[adrianotavares]

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A área total da pirâmide é dada por

• [tex3]A_t=pm+\ell^2,[/tex3]

onde [tex3]p=2\ell[/tex3] é o semiperímetro da base e [tex3]m[/tex3] é o apótema da pirâmide.

Sabemos que [tex3]m=p=2\ell[/tex3] logo,

• [tex3]A_t=4\ell^2+\ell^2=5\ell^2.[/tex3]

Como o diâmetro do círculo circunscrito à base é igual à diagonal do quadrado, temos

• [tex3]2r=\ell\sqrt{2}\Longrightarrow 2\cdot 8=\ell\sqrt{2}\Longrightarrow \ell =\frac{16}{\sqrt{2}}.[/tex3]

Portanto,

• [tex3]A_t=5\cdot \left(\frac{16}{\sqrt{2}}\right)^2=640\text{cm}^2.[/tex3]